Otras carreras duda sobre integrales y su utilidad geometrica

[ser humano]

hola, tengo una duda conceptual. ¿por que el valor de la integral representa el area debajo de la funcion?. en los libros que tengo solo lo enuncia y no lo fundamenta, y cuando yo aprendi integrales, me lo enseñaron diciendo que era la funcion primitiva de la funcion derivada. me gustaria tambien entender la relaion entre ambos conceptos.
gracias por su ayuda

[Juanma1976]

Re: duda sobre integrales y su utilidad geometrica

La verdad es que la integral se puede definir de las dos manera. Lo maravilloso es que esas dos definiciones tan diferentes estén relacionadas con la integral.

Para ver la relación, puedes partir de la definición de la integral de una función en un intervalo como el area debajo de la función (areas con signo).

Si te quieres documentar tendrás que ver primero lo que son las sumas de Riemann. A groso modo son una sucesión de sumas finitas que en el límite tienden a la integral.

Esta demostración me la estoy inventando, y soy consciente que no es rigurosa:

$\int_{a}^{b} f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}f(a+kh)\cdot h$

Donde $h=\frac{b-a}{n}$

La suma es una suma de Riemann si la función es integrable. Además cada suma finita es una aproximación cada vez mejor al area debajo de la gráfica de la función. Por lo tanto, el límite es el area debajo de la gráfica.

Supongamos que $f$ tiene una primitiva, esto es, existe $g$ tal que $g'=f$. Entonces rehago la suma sustituyendo:

$\int_{a}^{b} f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}g'(a+kh)\cdot h$

Por otro lado, por el teorema del valor medio:

$g(a+(k+1)h)-g(a+kh)=g'(c)\cdot h$ donde $c\in [a+kh, a+(k+1)h]$

En el límite $g'(a+kh)\sim g'(c)$ por lo que:

$\int_{a}^{b} f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}g'(c)\cdot h$ o lo que es lo mismo

$\int_{a}^{b} f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}g(a+(k+1)h)-g(a+kh)=g(b)-g(a)$

En resumen, $\int_{a}^{b}f(x)=g(b)-g(a)$ donde $g'=f$.

En este teorema está la relación entre la definición de la integral como area debajo de la grafica y como primitiva de una función.

Un saludo,

hola, tengo una duda conceptual. ¿por que el valor de la integral representa el area debajo de la funcion?. en los libros que tengo solo lo enuncia y no lo fundamenta, y cuando yo aprendi integrales, me lo enseñaron diciendo que era la funcion primitiva de la funcion derivada. me gustaria tambien entender la relaion entre ambos conceptos.
gracias por su ayuda

[Sartie]

Re: duda sobre integrales y su utilidad geometrica

imaginate que con la integral lo que haces es sumar rectangulos pequeños, cuya altura va desde cero hasta el valor de la funcion en un x determinado y su anchura desde x-dx/2 hasta x+dx/2, es una buena aproximacion