Factorizar un polinomio

[Marce_]

Re: Factorizar un polinomio

Hola, tengo una duda sencilla a la hora de factorizar un polinomio. En un ejercicio, me descompone un polinomio de sexto grado de la siguiente manera:

$x^6-x^5+4x^4-6x^3+2x^2-8x+8 = (x^3-2)(x^2+4)(x-1) = 0$

No tengo ninguna duda a la hora de sacar la raíz x=1 del polinomio mediante el método de Ruffini:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

Pero lo que no sé es como descomponer el polinomio de quinto grado en uno de segundo grado y en otro de tercero. ¿Hay algún método o hay que ir probando?

Saludos

Mayhem, si el enunciado ya te lo dió semi-factorizado, Ruffini se lo tendrías que aplicar a cada factor por separado. Es decir, es como que el que elaboró el enunciado hizo Ruffini sobre la expresión sin factorizar, y te "escondió" las raices, multiplicandolas entre si. Lo que te explicaron los muchachos es bárbaro cuando te largan solo con la expresión sin factorizar (que de hecho es lo que suele suceder), pero si no es el caso, no te la compliques que hay tiempo para eso jjajaja.

Dos consejos: Cuando te largan solo con una expresión no factorizada, buscale todos los posibles divisores al término independiente (con ambos signos). Cuando encuentres una raiz, bajale el grado por Ruffini, factorizalo, y hace lo mismo con lo que te quedó. Si ves que haciendo ésto no las encontras, podés probar con las raices de los candidatos, o (la mejor, como hizo Afisionado), empezar a jugar sacando factor común, encontrando formas de expresar todo multiplicando.

Casi siempre el notar una diferencia de cuadrados o cubos (o el "inventarlas"), te van a agilizar las cosas. Tratá de familiarizarte con éstas expresiones porque te van a ser muy útiles.

Tomando el ejemplo en cuestión:

$\displaystyle (x^3-2)(x^2+4)(x-1) = 0$

Del $\displaystyle (x-1)$ te olvidas, más factorizado que eso no hay. Del $\displaystyle (x^2+4)$ Juanma te lo explicó perfectamente. Ahora, el $\displaystyle (x^3-2)$ no es una diferencia de cubos, pero podría serlo, si tocamos un par de cosas.

$\displaystyle (x^3-2)=(x^3-{(\sqrt[3]{2})}^3)$

Utilizando la diferencia de cubos:

$\displaystyle a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Entonces:

$\displaystyle (x^3-{(\sqrt[3]{2})}^3)= (x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+{(\sqrt[3]{2})}^2)$

Una raiz ya salió sola, y las otras dos ya salen de una manera más conocida y amigable .

Un abrazo y espero que te sea útil.-

[Mayhem]

Re: Factorizar un polinomio

Vaya, pues es una manera muy inteligente de factorizar el polinomio, no se me había ocurrido

Pero claro, el problema es que sólo vale para este... por ejemplo, si en vez de ser el último coeficiente "-8" fuese -9, ya no podría servir. Quizá no existe ningún método general que sirva para cualquier polinomio...

Muchas gracias por las respuestas a todos

[Juanma1976]

Re: Factorizar un polinomio

Hola Afisionado, desgraciadamente no conozco otro método para factorizar un polinomio .

Hola JuanMa, sí, tienes razón. Me di cuenta después de que no se trataba de encontrar las raíces conocidos los factores sino de encontrar los factores. En cuanto a los complejos, creo que tendré que repasarlos un poco

Por otra parte, para factorizar, si no sale por Ruffini no se me ocurre más que intentar aplicar reglas algebráicas a las potencias de x. Algo así como:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

$(x^3x^2+4x^3-2(x^2+4))(x-1)=0$

$(x^3(x^2+4)-2(x^2+4))(x-1)=0$

Resulta:

$(x^3-2)(x^2+4)(x-1)=0$

Pero no lo he visto en ninguna parte. Quizá haya otra forma mejor.

[Afisionado]

Re: Factorizar un polinomio

Hola JuanMa, sí, tienes razón. Me di cuenta después de que no se trataba de encontrar las raíces conocidos los factores sino de encontrar los factores. En cuanto a los complejos, creo que tendré que repasarlos un poco

Por otra parte, para factorizar, si no sale por Ruffini no se me ocurre más que intentar aplicar reglas algebráicas a las potencias de x. Algo así como:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

$(x^3x^2+4x^3-2(x^2+4))(x-1)=0$

$(x^3(x^2+4)-2(x^2+4))(x-1)=0$

Resulta:

$(x^3-2)(x^2+4)(x-1)=0$

Pero no lo he visto en ninguna parte. Quizá haya otra forma mejor.

Hola Afisionado, el problema está en descomponer el polinomio de grado 5 en los dos de grado 3 y 2 respectivamente.

Luego, además, como bien indicas, cada uno de ellos se resuelven fácilmente, aunque por cierto, te falta dos raices:

$x^3-2=0$ tiene 3 raíces, una real y dos complejas.

Si $z^3=2$ tomamos $z$ en los complejos de la siguiente manera $z=|z|e^{i\alpha}$ donde $|z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha$ es el argumento de $z$.

Entonces $z^3=|z|^3e^{3i\alpha}=2=2e^0$ por lo que igualando $|z|=\sqrt[3]{2}$ y para $\alpha$ hay 3 posibles valores $\alpha=0, alpha=\frac{2}{3}\pi,$ y $\alpha=\frac{4}{3}\pi$
$x^2+4=0$ tiene 2 raíces complejas.

[Mayhem]

Re: Factorizar un polinomio

Hola, muchas gracias por vuestras respuestas. Yo creía que era un pregunta simple, pero ahora veo que no lo es tanto...

¿Se puede aplicar Ruffini para dividir un polinomio por una ecuación de segundo grado? Yo sólo lo sé aplicar para polinomios de un grado Por otra parte, no conocía el método del triángulo de Pascal, voy a mirarlo a ver si me sirve de algo...

De cualquier manera, la pregunta original era, efectivamente, sacar las raíces complejas del polinomio. En eso no tengo ningún problema, el problema lo tengo al deshacer el polinomio de sexto grado en trocitos... ¿hay alguna otra manera de hacer esto?

Gracias de nuevo. Seguiremos intentándolo

[Juanma1976]

Re: Factorizar un polinomio

Hola Afisionado, el problema está en descomponer el polinomio de grado 5 en los dos de grado 3 y 2 respectivamente.

Luego, además, como bien indicas, cada uno de ellos se resuelven fácilmente, aunque por cierto, te falta dos raices:

$x^3-2=0$ tiene 3 raíces, una real y dos complejas.

Si $z^3=2$ tomamos $z$ en los complejos de la siguiente manera $z=|z|e^{i\alpha}$ donde $|z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha$ es el argumento de $z$.

Entonces $z^3=|z|^3e^{3i\alpha}=2=2e^0$ por lo que igualando $|z|=\sqrt[3]{2}$ y para $\alpha$ hay 3 posibles valores $\alpha=0, \alpha=\frac{2}{3}\pi,$ y $\alpha=\frac{4}{3}\pi)$

Resumiendo

$x_1=\sqrt[3]{2}e^0=\sqrt[3]{2}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


$x^2+4=0$ tiene 2 raíces complejas.

$x_4=2i$
$x_5=-2i$

Por último $x_6=1$

Un saludo,

En este ejercicio en concreto, para hallar las otras dos raíces yo usaría

$x^3-2=0$
y
$x^2+4=0$

De donde
$x_1=1$

$x_2 = \sqrt[3]{2}$

$<br /> x_3 = \sqrt{-4}=2i<br />$ Raíz compleja

Y creo que no hay más

[Afisionado]

Re: Factorizar un polinomio

En este ejercicio en concreto, para hallar las otras dos raíces yo usaría

$x^3-2=0$
y
$x^2+4=0$

De donde
$x_1=1$

$x_2 = \sqrt[3]{2}$

$<br /> x_3 = \sqrt{-4}=2i<br />$ Raíz compleja

Y creo que no hay más

[Ulises7]

Re: Factorizar un polinomio

Hola, tengo una duda sencilla a la hora de factorizar un polinomio. En un ejercicio, me descompone un polinomio de sexto grado de la siguiente manera:

$x^6-x^5+4x^4-6x^3+2x^2-8x+8 = (x^3-2)(x^2+4)(x-1) = 0$

No tengo ninguna duda a la hora de sacar la raíz x=1 del polinomio mediante el método de Ruffini:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

Pero lo que no sé es como descomponer el polinomio de quinto grado en uno de segundo grado y en otro de tercero. ¿Hay algún método o hay que ir probando?

Saludos

Me acuerdo que un dia bien entrada la noche queria factorizar un polinomio y no encontraba las raices asi que me puse a buscar un método general para encontrar las raices y lo llegue a conseguir y funcionaba pero perdi los apuntes y no me acuerdo como volver a llegar ( aunque tampoco lo he intentado mucho ) pero aun asi supongo que debe haber muchos métodos para encontrar las raices pero los desconozco como mucho Ruffini, ¿el triángulo de Pascal se puede aplicar aqui?


saludos

pd: estoy intentando encontrar las raices por Ruffini pero de momento nada

[arreldepi]

Re: Factorizar un polinomio

Hola, tengo una duda sencilla a la hora de factorizar un polinomio. En un ejercicio, me descompone un polinomio de sexto grado de la siguiente manera:

$x^6-x^5+4x^4-6x^3+2x^2-8x+8 = (x^3-2)(x^2+4)(x-1) = 0$

No tengo ninguna duda a la hora de sacar la raíz x=1 del polinomio mediante el método de Ruffini:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

Pero lo que no sé es como descomponer el polinomio de quinto grado en uno de segundo grado y en otro de tercero. ¿Hay algún método o hay que ir probando?

Saludos

Hola,

que yo sepa no hay ningún otro método; tienes que seguir haciendo ruffini hasta llegar a la ecuación de segundo grado, entonces sólo tienes que resolverla.

Un saludo!

[Mayhem]

Hola, tengo una duda sencilla a la hora de factorizar un polinomio. En un ejercicio, me descompone un polinomio de sexto grado de la siguiente manera:

$x^6-x^5+4x^4-6x^3+2x^2-8x+8 = (x^3-2)(x^2+4)(x-1) = 0$

No tengo ninguna duda a la hora de sacar la raíz x=1 del polinomio mediante el método de Ruffini:

$(x^5+4x^3-2x^2-8)(x-1)=0$

Pero lo que no sé es como descomponer el polinomio de quinto grado en uno de segundo grado y en otro de tercero. ¿Hay algún método o hay que ir probando?

Saludos