Divulgación Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

[Patricio]

lim x^3-27/x^2-9

x-->3

Se que necesito factorizar el numerador para despues tambien factorizar el denominador y asi eliminar un factor de cada uno.

Solo que tengo duda en como factorizar el numerador...

Necesito una pequeña orientacion o ayuda de como hacerlo.. plis :/

[ser humano]

Re: Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

bueno, en este caso es notorio que la funcion no es continua en el punto X=3, y por lo tanto no podes sustituir directamente este valor en la funcion.
lo que podes hacer es buscar una funcion que tenga los mismos valores en todos los puntos que la funcion que te dan, pero que sea continua en el punto x=3 (es decir que lo unico que tendrian de diferente estas funciones es el punto x=3, ya que en la funcion del enunciado no tiene valor, y en la funcion que vamos a hallar va a tener el valor del limite cuando x tiende a tres de la funcion que te dieron).

entonces lo que queres es hallar un casi equivalente (porque en el 3 no lo sera) de $\frac{x^3 - 27} {x^2 - 9}$ (1)
empecemos a trabajar con esta expresion:
$\frac{x^3 - 27} {x^2 - 9} = \frac{x^3 - 3^3} {x^2 - 3^2} = \frac{x^3 - 27} {(x - 3) (x+3)}$
(en la ultima expresion en el denominador hice diferencia de cuadrados)
hasta aca encontramos expresiones equivalentes, ahora nos podemos disponer a factorizar $x^3 - 3^3$ el cual es un coubo perfecto y por lo tanto lo podemos expresar como $(x-3)(x^2 + 3x +9)$. sustituyendo nos queda
$\frac{(x-3)(x^2 + 3x +9)} {(x - 3) (x+3)} = \frac{(x^2 + 3x +9)} { (x+3)}$
si quisieramos que esta expresion sea equivalente a (1), deberiamos aclarar que x no puede ser tres, pero como ya dijimos no estamos buscando que sea equivalente en todos los puntos, sino que en todos los puntos menos en el tres, por lo que no aclaramos nada y hallamos nuestra nueva funcion.

ahora lo unico que resta es sustituir a x por 3 en la nueva funcion, lo que te va a dar el valor de el limite

de paso te paso algunas cosas que podes leer para empezar a escribir con el latex, no es dificil hacerlo y es mucho mas distinguible lo que uno quiere escribir cuando se trata de ecuaciones:

http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=175 (del blog de ulises7)

http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=175 (para practicar)

[Afisionado]

Re: Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

Por Ruffini sale perfectamente.

Editando: Perdona, Ser humano, no había visto tu respuesta.

Por L'Hopital también se puede hacer: http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27hopital

[Patricio]

Re: Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

bueno, en este caso es notorio que la funcion no es continua en el punto X=3, y por lo tanto no podes sustituir directamente este valor en la funcion.
lo que podes hacer es buscar una funcion que tenga los mismos valores en todos los puntos que la funcion que te dan, pero que sea continua en el punto x=3 (es decir que lo unico que tendrian de diferente estas funciones es el punto x=3, ya que en la funcion del enunciado no tiene valor, y en la funcion que vamos a hallar va a tener el valor del limite cuando x tiende a tres de la funcion que te dieron).

entonces lo que queres es hallar un casi equivalente (porque en el 3 no lo sera) de $\frac{x^3 - 27} {x^2 - 9}$ (1)
empecemos a trabajar con esta expresion:
$\frac{x^3 - 27} {x^2 - 9} = \frac{x^3 - 3^3} {x^2 - 3^2} = \frac{x^3 - 27} {(x - 3) (x+3)}$
(en la ultima expresion en el denominador hice diferencia de cuadrados)
hasta aca encontramos expresiones equivalentes, ahora nos podemos disponer a factorizar $x^3 - 3^3$ el cual es un coubo perfecto y por lo tanto lo podemos expresar como $(x-3)(x^2 + 3x +9)$. sustituyendo nos queda
$\frac{(x-3)(x^2 + 3x +9)} {(x - 3) (x+3)} = \frac{(x^2 + 3x +9)} { (x+3)}$
si quisieramos que esta expresion sea equivalente a (1), deberiamos aclarar que x no puede ser tres, pero como ya dijimos no estamos buscando que sea equivalente en todos los puntos, sino que en todos los puntos menos en el tres, por lo que no aclaramos nada y hallamos nuestra nueva funcion.

ahora lo unico que resta es sustituir a x por 3 en la nueva funcion, lo que te va a dar el valor de el limite

de paso te paso algunas cosas que podes leer para empezar a escribir con el latex, no es dificil hacerlo y es mucho mas distinguible lo que uno quiere escribir cuando se trata de ecuaciones:

http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=175 (del blog de ulises7)

http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=175 (para practicar)

Ser humano en la diferencia de cubos tengo duda. El desarrollo de la diferencia de cubos dice asi:

a^3-b^3= (a^2+ab+b^2)

entonces quedaria :

(x-3)(x^2-3x+9)
________________
(x-3)(x+3)

ó

(x-3)(x^2+3x+9)
______________
(x-3)(x+3)


Tengo duda si el signo debe de ser + o - EN 3X, porque la regla dice que debe ser + pero al multiplicar el factor (x-3) el resultado seria = -3x
Se toma solamente en cuenta la x y el 3 asi solo sin importar el signo??

[ser humano]

Re: Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

Ser humano en la diferencia de cubos tengo duda. El desarrollo de la diferencia de cubos dice asi:

a^3-b^3= (a^2+ab+b^2)

no, es $a^3 - b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2)$

podes verlo aca: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos2.htm

entonces la expresion seria como esta expuesto en el mensaje que te habia dejado

[Patricio]

Re: Ayuda con la obtencion del limite de esta funcion

no, es $a^3 - b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2)$

podes verlo aca: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos2.htm

entonces la expresion seria como esta expuesto en el mensaje que te habia dejado

Ok ser humano gracias por aclarar mis dudas
muchas gracias en verdad amigo