1r ciclo Demostración teorema de Helmholtz

[KyAlOx]

¡Saludos!

Mi duda surge a raíz de estudiar el teorema de Helmholtz en Electromagnetismo, pero como mi duda va en abstracto, no en particular aplicado a esta rama, creo que corresponde a este subforo xD si no, pues ya lo siento U

Bien, mi duda es: ¿cómo se demuestra el teorema de Helmholtz? Más precisamente, ¿de dónde salen las expresiones siguientes?:

$\displaystyle\varphi(\vec{R})=\dfrac{1}{4\pi}\int_{V} \dfrac{S(\vec{R}')}{r} dV'$

$\displaystyle \vec{A}(\vec{R})=\dfrac{1}{4\pi}\int_{V} \dfrac{\vec{C}(\vec{R}')}{r} dV'$

Donde las coordenadas primadas se refieren a donde se encuentran las fuentes, las coordenadas sin primar a donde calculamos cada uno de los potenciales y:

$\vec{r}=\vec{R}-\vec{R}'$
$\vec{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\vec{A}$
$\nabla\cdot\vec{F}=-\nabla^2\varphi=S(\vec{R})$
$\nabla\times\vec{F}=-\nabla^2\vec{A}=\vec{C}(\vec{R})$

He buscado por internet y encuentro demostraciones de que las expresiones integrales son identidades; o sea, aplica el operador nabla a las dos integrales y se ve que la igualdad se satisface. Sin embargo, lo que desconozco es de cómo se llega a dichas expresiones, precisamente. El factor 4pi me lleva a pensar que tendrá que ver con que

$\nabla^2(\dfrac{1}{r})=-4\pi\delta(\vec{r})$

pero no se me ocurre nada...¿alguna idea? Gracias de antemano =)

K.

[[Beto]]

Re: Demostración teorema de Helmholtz

He buscado por internet y encuentro demostraciones de que las expresiones integrales son identidades; o sea, aplica el operador nabla a las dos integrales y se ve que la igualdad se satisface. Sin embargo, lo que desconozco es de cómo se llega a dichas expresiones, precisamente. El factor 4pi me lleva a pensar que tendrá que ver con que

$\nabla^2(\dfrac{1}{r})=-4\pi\delta(\vec{r})$

Si no me equivoco al transformar esa expresión diferencial en una integral, y luego integrar alrededor de un volumen cerrado v, ese $4\pi$ aparece debido a que el ángulo sólido tiene esa medida.

[KyAlOx]

Re: Demostración teorema de Helmholtz

Si no me equivoco al transformar esa expresión diferencial en una integral, y luego integrar alrededor de un volumen cerrado v, ese $4\pi$ aparece debido a que el ángulo sólido tiene esa medida.

Sí, esa integral la he hecho xD las integrales que no sé de dónde salen son las del cálculo de $\varphi$ y A. Imagino que consiste en tomar la integral de volumen de algo y desarrollar, pero no acabo de verlo...>.< O sea, no sé cómo se deducen las dos primeras expresiones de mi post anterior.

Gracias en cualquier caso =)

K.

[HighFlyingBird]

Re: Demostración teorema de Helmholtz

Son casos especiales de la funcion de green.

[Breogan]

Re: Demostración teorema de Helmholtz

Hola:

El teorema de Helmholtz nos dice que todo campo vectorial puede ser expresado univocamente como la suma del gradiente de una función escalar (cambiado de signo) y el rotor de un campo vectorial, o mas genéricamente todo campo vectorial se puede expresar como la suma de un campo irrotacional y un campo senoidal

$\vec{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\vec{A}$

La forma mas fácil de demostrarlo es partiendo de la identidad vectorial del rotor del rotor de un campo vectorial auxiliar que llamaremos $\dst \vec{\bold{I}}(\vec{\bold r})$, tenemos:

$$\dst \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{\bold I}(\vec{\bold r}) = \vec{\nabla} . (\vec{\nabla} . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})) - \vec{\nabla}^2 . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$$

Ahora vamos a renombrar cada uno de los miembros de la igualdad anterior:

$\dst \vec{\nabla}^2 . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$ es un campo vectorial cualquiera (por ser el Laplaciano de un campo vectoial) que podemos llamar $\dst - \vec{\bold F}(\vec{\bold r})$:

$$\dst \vec{\bold F}(\vec{\bold r}) = - \vec{\nabla}^2 . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$$

La divergencia de un campo vectorial $\dst \vec{\nabla} . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$ es un campo escalar, que lo vamos a llamar $\dst \varphi (\vec{\bold r})$:

$$\dst \varphi (\vec{\bold r}) = \vec{\nabla} . \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$$

El rotor de un campo vectorial $\dst \vec{\nabla} \times \vec{\bold I}(\vec{\bold r})$ es un campo vectoria que podemos llamar $\dst \vec{\bold A}(\vec{\bold r})$:

$$\dst \vec{\nabla} \times \vec{\bold I}(\vec{\bold r}) = \vec{\bold A}(\vec{\bold r})$$

Reemplazando (2), (3), y (4) en (1) nos queda:

$$\dst \vec{\nabla} \times \vec{\bold A}(\vec{\bold r}) = \vec{\nabla} . \varphi(\vec{\bold r}) + \vec{\bold F}(\vec{\bold r})$$

Reordenando la ecuación (5) queda:

$$\dst \vec{\bold F}(\vec{\bold r}) = - \vec{\nabla} . \varphi(\vec{\bold r}) + \vec{\nabla} \times \vec{\bold A}(\vec{\bold r})$$

La ecuación (6) es el teorema de Helmholtz, ahora si a está ecuación le aplicas el rotor en ambos miembros resulta:

$$\dst \vec{\nabla} \times \vec{\bold F}(\vec{\bold r}) = - \vec{\nabla}^2 \vec{\bold A}(\vec{\bold r})$$

o la divergencia quedando:

$$\dst \vec{\nabla} . \vec{\bold F}(\vec{\bold r}) = - \vec{\nabla}^2 \varphi (\vec{\bold r})$$

Las ecuaciones (7), y (8) son ecuaciones de Poisson cuya solución son un caso particular de la aplicacion de la función de Green, y la solución son las integrales que pusiste en tu mensaje.

s.e.u.o.

Suerte