1r ciclo Demostración de senos y cosenos

[Afisionado]

Hola. Ando resolviendo ejercicios de cálculo y en algunos de ellos se incluyen demostraciones.

Ejemplo: Demostrar que $\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3x$
Esto lo resuelvo así:

$\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x =$
$= 2 \sin x \cos^2 x + (\cos^2 x - \sin^2 x) \sin x=$
$= 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x) \sin x=$
$= 2 \sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3x =$
$= 3 \sin x - 4\sin^3 x$

Del modo similar resuelvo los otros apartados del ejercicio

$\cos 3x = \cos x - 4\sin^2x \cos x$
y
$\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x$

Pero en el siguiente ejercicio me pide que, usando lo anterior, demuestre que $\sin\frac{1}{6} \pi = \frac {1}{2}$

Y no logro ver el modo de hacerlo. ¿Alguien me echa una mano, plis?

[alespa07]

Re: Demostración de senos y cosenos

Hola. Antes de decirte como demostrar lo que te piden me gustaría darte un consejo respecto a este tipo de ejercicios. No sé si a estas alturas del curso habeis dado números complejos pero supondré que así es. El método que usas para linearizar $\sin n\theta$ funciona bien para $n=\{2,3\}$ pero se complicaría muchísimo para valores superiores de n. El método general reside en usar una de las consecuencias directas de la fórmula de Moivre:

${\rm e}^{in\theta}=\cos n\theta+i\sin n\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^n$

Entonces, puedes desarrollar el tercer miembro de la ecuación por el binomio de Newton y llegarás a las mismas conclusiones de manera más rápida y sin tener que recurrir a ninguna formula de suma de senos ni nada por el estilo salvo $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$. De verdad que es un buen ejercicio que te recomiendo hacer ( puedes probar para n=5 por ejemplo y comprobar que funciona con el libro de tablas tipo Schaum). Si tienes alguna duda y necesitas que explicite el detalle del cáclculo, no dudes en preguntar.

Respecto a la duda que te concierne tienes que pensar en que te han hecho hallar una relación entre el seno de un ángulo y el seno del ángulo triple. EL seno de $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ no es obvio entonces podrás usar la fórmula antes encontrada con $\displaystyle\frac{\pi}{18}$ o bien $\displaystyle\frac{3\pi}{6}$. Obviamente la segunda elección es la más apropiada ya que sabes que $\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}=1$. Te quedará pues una ecuaación de tercer grado en $\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}$ que podrás resolver. Recuerda que tendrás unas soluciones que habrán que descartar por no estar en el recorrido de la función seno. Espero que te sirva.


Saludos.

[Afisionado]

Re: Demostración de senos y cosenos

Hola Alexpa. Gracias por tu contestación pues me ha sido muy provechosa.

Hola. Antes de decirte como demostrar lo que te piden me gustaría darte un consejo respecto a este tipo de ejercicios. No sé si a estas alturas del curso habeis dado números complejos pero supondré que así es. El método que usas para linearizar $\sin n\theta$ funciona bien para $n=\{2,3\}$ pero se complicaría muchísimo para valores superiores de n. El método general reside en usar una de las consecuencias directas de la fórmula de Moivre:

${\rm e}^{in\theta}=\cos n\theta+i\sin n\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^n$

Entonces, puedes desarrollar el tercer miembro de la ecuación por el binomio de Newton y llegarás a las mismas conclusiones de manera más rápida y sin tener que recurrir a ninguna formula de suma de senos ni nada por el estilo salvo $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$. De verdad que es un buen ejercicio que te recomiendo hacer ( puedes probar para n=5 por ejemplo y comprobar que funciona con el libro de tablas tipo Schaum). Si tienes alguna duda y necesitas que explicite el detalle del cáclculo, no dudes en preguntar.

La verdad es que estoy siguiendo el Calculus de Apostol y voy por el segundo capítulo donde trata este tema de la forma que lo he hecho yo. Tras un rápido vistazo al capítulo 9 que trata los complejos y al glosario, no he visto que aparezca la fórmula de Moivre. No obstante quiero mirar varias cosas antes y repasar bien los complejos. He visto que en la wikipedia sí habla de esta fórmula así que le echaré un vistazo en su momento. Si aún así me queda alguna duda lo consultaré en la web o a tí directamente.

Respecto a la duda que te concierne tienes que pensar en que te han hecho hallar una relación entre el seno de un ángulo y el seno del ángulo triple. EL seno de $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ no es obvio entonces podrás usar la fórmula antes encontrada con $\displaystyle\frac{\pi}{18}$ o bien $\displaystyle\frac{3\pi}{6}$. Obviamente la segunda elección es la más apropiada ya que sabes que $\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}=1$. Te quedará pues una ecuaación de tercer grado en $\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}$ que podrás resolver. Recuerda que tendrás unas soluciones que habrán que descartar por no estar en el recorrido de la función seno. Espero que te sirva.


Saludos.

Pues lo había intentado de esa forma con los dos cambios de variable. Unicamente, no se me ocurrió resolver la ecuación de tercer grado. Como vi que seguía apareciendo el dichoso $\frac{\pi}{6}$ no seguí adelante. Ahora ya la tengo resuelta.

En fin, gracias por la ayuda, Alexpa, y descuida que seguiré tus consejos.