1r ciclo Binomio de Newton. Demostración por inducción

[arreldepi]

Hola,

El otro día nos hicieron la jodida ardua demostración del binomio de Newton por el maldito principio de inducción y, entre otros muchos, hay un paso en concreto que no termino de entender:

Llega un punto en que tenemos:

$\displaystyle (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n-1}{{n-1}\choose k} a^{n-k}b^k + \sum_{k=0}^{n-1}{{n-1}\choose k} a^{n-1-k}b^{k+1}$

Entonces, a la primera sumatoria le saca el primer término y, por tanto, se suma desde k=1 hasta n. Hasta aquí todo bien.

Pero en la segunda, le quita el último término y (para poder tener un uno en el índice como en la otra sumatoria , supongo, hace el siguiente cambio de variable: $k+1=l\;\;\to\;\;k=l-1$), suma desde l=1 hasta n-1.

$(a+b)^n = \displaystyle {{n-1} \choose 0}a^nb^0 + \sum_{k=1}^{n-1}{{n-1}\choose k}a^{n-k}b^k + \sum_{l=1}^{n-1}{{n-1} \choose {l-1}}a^{n-l}b^l + {{n-1} \choose {n-1}}a^0b^n$

Es en ese n-1 donde empiezo a perderme, por qué n-1 y no n-2?, si hemos quitado el último término, se supone que queda uno menos, no? O el cambio de variable es precisamente para no sumar hasta n-2?


Muchas gracias!

[alespa07]

Re: Binomio de Newton. Demostración por inducción

Hola,

El otro día nos hicieron la jodida ardua demostración del binomio de Newton por el maldito principio de inducción y, entre otros muchos, hay un paso en concreto que no termino de entender:

Llega un punto en que tenemos:

$\displaystyle (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n-1}{{n-1}\choose k} a^{n-k}b^k + \sum_{k=0}^{n-1}{{n-1}\choose k} a^{n-1-k}b^{k+1}$

Entonces, a la primera sumatoria le saca el primer término y, por tanto, se suma desde k=1 hasta n. Hasta aquí todo bien.

Pero en la segunda, le quita el último término y (para poder tener un uno en el índice como en la otra sumatoria , supongo, hace el siguiente cambio de variable: $k+1=l\;\;\to\;\;k=l-1$), suma desde l=1 hasta n-1.

$(a+b)^n = \displaystyle {{n-1} \choose 0}a^nb^0 + \sum_{k=1}^{n-1}{{n-1}\choose k}a^{n-k}b^k + \sum_{l=1}^{n-1}{{n-1} \choose {l-1}}a^{n-l}b^l + {{n-1} \choose {n-1}}a^0b^n$

Es en ese n-1 donde empiezo a perderme, por qué n-1 y no n-2?, si hemos quitado el último término, se supone que queda uno menos, no? O el cambio de variable es precisamente para no sumar hasta n-2?

Muchas gracias!

Hola arreldepi. Tu duda es consecuencia del cambio de índice. Si $l=k+1$ entonces tienes que :

$k=0\rightarrow l=1$ y $k=n-2 \rightarrow l=n-1$

Lo que se pretende es homogeneizar los dos sumatorios para poder expresar en uno solo. Ahora, al ser los índices variables mudas, lo puedes llamar a los dos $k$ y tendrás que dichos sumatorios tienen el mismo recorrido. Obtienes que:

$(a+b)^n = a^n + \sum_{k=1}^{n-1}\left({{n-1}\choose k}+{{n-1}\choose{k-1}}\right)a^{n-k}b^k+ b^n$

Ahora sólo te falta demostrar que :

${{n-1}\choose k}+{{n-1}\choose{k-1}}={{n}\choose{k}}$

y volver a insertar los términos sueltos dentro del sumatorio. Espero que te sirva.

Si te queda alguna duda sobre la demostración, no dudes en preguntar.

Saludos.

P.D: Visca la UB!!! jejej

[arreldepi]

Re: Binomio de Newton. Demostración por inducción

Muchas Gracias! Ya entiendo cómo seguirlo y el por qué del cambio (el primero). Lo que no termino de entender es lo de la variable muda (de hecho, cuando el profesor de problemas lo hizo en clase, hubo un murmullo general, y nos dijo que si nos preocupaba hacer $k=l$, no había problema, entonces dijo $k = p$, y $l=p$... xD).

Es decir, no entiendo que si hemos dicho que $k +1=l$ ahora podamos decir que $k = l$.

Un saludo y gracias de nuevo!

[alespa07]

Re: Binomio de Newton. Demostración por inducción

Hola. Lo de variable muda quiere decir que no importa que letra usas cmo índice ya que, a fin de cuentas, lo que importa es el valor de partida y el de llegada. Da lo mismo que sume de k igual a 0 hasta n que sumes de i igual 0 hasta n. Lo que haces es sumar de un valor inicial hasta un valor final y no importa la letra que uses para representar este recorrido.

Saludos.

P.D: lo mejo para convencerte es coger dos sumatorios sencillos con índices distinos pero con mismo recorrido para comprobar que no cambia nada. Es lo mismo que usar x o y en una ecuación, da lo mismo.