1r ciclo Existencia de raices en un intervalo

[[Beto]]

Hola, tengo que probar que la siguiente función:

$$f(x)=x\sin(\pi x)-(x-2)\ln x$$

no tiene raices en el intervalo $[1;2]$.

Lo que noto de inmediato es que $f(1)=f(2)=0$, por tanto existirá un $c\in[1;2]$ tal que $f'(c)=0$ (esto por el teorema de Rolle).

De forma similar noto que si llamo $g(x)=x\sin(\pi x)<0$ y $h(x)=(x-2)\ln x<0$ , también cumplen el teorema de Rolle en el mismo intervalo. Luego como $f(x)=h(x)-g(x)$ si logro probar que $h(x)>g(x)$, podria concluir que esa función no tiene raices en ese intervalo, pero no se me ocurre como probar esa parte, he pensado en que quizás si pruebo que $h(x_1)>g(x_2)$ tal que $h'(x_1)=g(x_2)'=0$, pero tampoco consigo llegar a nada de ese modo.

¿Alguna sugerencia?

[Juanma1976]

Re: Existencia de raices en un intervalo

Prueba a hacerlo por reducción al absurdo. Si supones que existe alguna raiz entre 1 y 2, entonces por el teorema de Rolle tendrás que la derivada se anula en dos puntos diferentes entre 1 y 2 y por lo tanto la segunda derivada se anula en un punto intermedio entre 1 y 2 aplicacando otra vez Rolle. Si pruebas que la segunda derivada no se anula entre 1 y 2 ya lo tendrás probado.

Un saludo.

Hola, tengo que probar que la siguiente función:

$$f(x)=x\sin(\pi x)-(x-2)\ln x$$

no tiene raices en el intervalo $[1;2]$.

Lo que noto de inmediato es que $f(1)=f(2)=0$, por tanto existirá un $c\in[1;2]$ tal que $f'(c)=0$ (esto por el teorema de Rolle).

De forma similar noto que si llamo $g(x)=x\sin(\pi x)<0$ y $h(x)=(x-2)\ln x<0$ , también cumplen el teorema de Rolle en el mismo intervalo. Luego como $f(x)=h(x)-g(x)$ si logro probar que $h(x)>g(x)$, podria concluir que esa función no tiene raices en ese intervalo, pero no se me ocurre como probar esa parte, he pensado en que quizás si pruebo que $h(x_1)>g(x_2)$ tal que $h'(x_1)=g(x_2)'=0$, pero tampoco consigo llegar a nada de ese modo.

¿Alguna sugerencia?