1r ciclo raiz de un polinomio

[Jose D. Escobedo]

Cuando estudiaba en Mexico en la FM del politecnico, en un Examen extraordinario, me pusieron a resolver un problema que me gusto y creo que deveria de compartirlo con uds. La materia era calculo en el 1er semestre, pero yo como en ese tiempo era un poco curioso, ese mismo problema lo descubri en un libro de 5to semestre el cual no habia podido resolver como por tres meses. Estando en medio del examen, despues de pensar cuan injustos eran los profesores al poner un problema de 5to semestre a los estudiantes de primero, se me prendio el foco y lo resolvi tan facilmente que me estaba riendo de mi mismo al terminar el mismo. Desde ese dia a los profesores que resolvian los problemas sencillos en clase y dejaban los mas dificiles de tarea, los considere como ineptos a menos que resolvieran al menos uno de los mas dificiles problemas en clase.

Bueno despues de esa larga introduccion , aqui les va el problema:

Demostrar que la funcion polinomial

$F(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + ... + A_1 x + A_0$

tiene al menos una raiz en segmento $0 \leq x \leq 1$

sabiendo que: $\displaystyle \frac{A_n}{n+1} + \frac{A_{n-1}}{n} + ... + \frac{A_1}{2} + A_0 = 0$

Espero les guste, la solucion es facil y bonita.

Saludos Jose

[alespa07]

Re: raiz de un polinomio

Cuando estudiaba en Mexico en la FM del politecnico, en un Examen extraordinario, me pusieron a resolver un problema que me gusto y creo que deveria de compartirlo con uds. La materia era calculo en el 1er semestre, pero yo como en ese tiempo era un poco curioso ese mismo problema lo descubri en un libro de 5to semestre el cual no habia podido resolver como por tres meses. Estando en medio del examen, despues de pensar cuan injustos eran los profesores al poner un problema de 5to semestre a los estudiantes de primero, se me prendio el foco y lo resolvi tan facilmente que me estaba riendo de mi mismo al terminar el mismo. Desde ese dia a los profesores que resolvian los problemas sencillos en clase y dejaban los mas dificiles de tarea, los considere como ineptos a menos que resolvieran al menos uno de los mas dificiles problemas en clase.

Bueno despues de esa larga introduccion , aqui les va el problema:

Demostrar que la funcion polinomial

$F(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + ... + A_1 x + A_0$

tiene al menos una raiz en segmento $0 \leq x \leq 1$

sabiendo que: $\displaystyle \frac{A_n}{n+1} + \frac{A_{n-1}}{n} + ... + \frac{A_1}{2} + A_0 = 0$

Espero les guste, la solucion es facil y bonita.

Saludos Jose

Hola. Si nos fijamos en que:



$\int_0^1F(x)dx=0$



Se concluye facilmente.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: raiz de un polinomio

Jeje! La verdad es que el polinomio está pidiendo a gritos que lo integren.

Precisamente la suma corresponde a $G(1)$ donde
$G(x)=\displaystyle \frac{A_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{A_{n-1}}{n}x^n + ... + \frac{A_1}{2}x^2 + A_0x$

Se cumple que $G'(x)=F(x)$ y $G(0)=G(1)$, por lo que por el teorema de Rolle, $\exists c\in (0,1)$ tal que $G'(c)=0$ o $F(c)=0$.

Si que era bonito y sencillo

Cuando estudiaba en Mexico en la FM del politecnico, en un Examen extraordinario, me pusieron a resolver un problema que me gusto y creo que deveria de compartirlo con uds. La materia era calculo en el 1er semestre, pero yo como en ese tiempo era un poco curioso ese mismo problema lo descubri en un libro de 5to semestre el cual no habia podido resolver como por tres meses. Estando en medio del examen, despues de pensar cuan injustos eran los profesores al poner un problema de 5to semestre a los estudiantes de primero, se me prendio el foco y lo resolvi tan facilmente que me estaba riendo de mi mismo al terminar el mismo. Desde ese dia a los profesores que resolvian los problemas sencillos en clase y dejaban los mas dificiles de tarea, los considere como ineptos a menos que resolvieran al menos uno de los mas dificiles problemas en clase.

Bueno despues de esa larga introduccion , aqui les va el problema:

Demostrar que la funcion polinomial

$F(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + ... + A_1 x + A_0$

tiene al menos una raiz en segmento $0 \leq x \leq 1$

sabiendo que: $\displaystyle \frac{A_n}{n+1} + \frac{A_{n-1}}{n} + ... + \frac{A_1}{2} + A_0 = 0$

Espero les guste, la solucion es facil y bonita.

Saludos Jose

[Juanma1976]

Re: raiz de un polinomio

Claro, porque si la integral es cero, no puede ser que la función en el intervalo sea siempre positiva o siempre negativa. Por lo tanto se anula en algún punto

Hola. Si nos fijamos en que:



$\int_0^1F(x)dx=0$



Se concluye facilmente.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: raiz de un polinomio

Buen trabajo, yo lo resolvi como juanma1976 con ayuda del teorema de rolle.

saludos Jose