Otras carreras Acotación en limites por definición.

[Maxi232]

Hola tengo dudas sobre como acotar en algunos casos, cuando tengo que probar un límite por definición, les dejo unos ejemplos que son casi iguales y les digo mi problema:

1) $\frac{3x^2(y-1)}{|y|x^2 + (y-1)^2}$ en (0,1)

2) $\frac{xy +x^3y}{x^2+|y|}$ en (0,0)

3) $\frac{x^{\frac{2}{3}}(y-1)^2e^{xy}}{x^4 + (y-1)^2}$ en (0,1)

Bueno lo que no puedo hacer es acotar el denominador, en todos los casos es bastante similar, porque en el denominador esta casi el modulo de (x,y) - (p1,p2) pero o estan elevados a una potencia más o tienen otra cosa multiplicando uno de los terminos.
Supongo que hay que tratar de llevar a esa expresion a cosas que puedan acotarse con el modulo antes mencionado, pero en estos casos no se como hacerlo.
No les pido que me resuelvan los ejercicios, pero si me dicen por donde encarar alguno, supongo que los otros son parecidos.

Saludos!

[Juanma1976]

Re: Acotación en limites por definición.

Te doy una pista. Si pasas a coodenadas polares tendrás la dependencia de los límites de la distancia al punto del límite. Así podrás resolverlos según la definición de epsilón-delta.

$x=r\cos t$
$y=1+r\sin t$

El límite queda así

1) $\frac{3\cos^2 t \sin t}{|1+r\sin t|\cos^2 t + \sin^2 t}r$ en (0,1)

la fracción está acotada y está multiplicada por $r$.

Saludos.

Hola tengo dudas sobre como acotar en algunos casos, cuando tengo que probar un límite por definición, les dejo unos ejemplos que son casi iguales y les digo mi problema:

1) $\frac{3x^2(y-1)}{|y|x^2 + (y-1)^2}$ en (0,1)

2) $\frac{xy +x^3y}{x^2+|y|}$ en (0,0)

3) $\frac{x^{\frac{2}{3}}(y-1)^2e^{xy}}{x^4 + (y-1)^2}$ en (0,1)

Bueno lo que no puedo hacer es acotar el denominador, en todos los casos es bastante similar, porque en el denominador esta casi el modulo de (x,y) - (p1,p2) pero o estan elevados a una potencia más o tienen otra cosa multiplicando uno de los terminos.
Supongo que hay que tratar de llevar a esa expresion a cosas que puedan acotarse con el modulo antes mencionado, pero en estos casos no se como hacerlo.
No les pido que me resuelvan los ejercicios, pero si me dicen por donde encarar alguno, supongo que los otros son parecidos.

Saludos!

[Maxi232]

Re: Acotación en limites por definición.

Ese limite se resolveria acotando hasta que te queda r*sin (t) y eso se puede acotar con la norma? o como se llega a la relación con epsilon?

[Juanma1976]

Re: Acotación en limites por definición.

Hola. La definición de límite en un punto es la siguiente:

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to (p_1,p_2)}f(x,y)dxdy=L\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0$ tal que si $|f(x,y)-L|<\epsilon$ entonces $|(x,y)-(p_1,p_2)|<\delta$.

Lo que viene a decir que la función se puede acercar tanto como se quiera al valor del límite si $(x,y)$ se acerca lo suficiente a $(p_1,p_2)$

En nuestro caso para cualquier $\epsilon >0$ dado, como el cociente está acotado:

El denominador es mayor o igual que 1 ya que si suponemos los contrario

$|1+r\sin t|\cos^2t+\sin^2t<1$
$|1+r\sin t|\cos^2t<1-\sin^2t=cos^2t$
$|1+r\sin t|<0$ !!!

El numerador es claramente menor que 3. Si escojo $\delta=\frac{\epsilon}{3}$, si $r=]|(x,y)-(p_1,p_2)|<\delta$

Recapitulando, si $\frac{3\cos^2 t \sin t}{|1+r\sin t|\cos^2 t + \sin^2 t}r<3r<3\delta<\epsilon$

Ese limite se resolveria acotando hasta que te queda r*sin (t) y eso se puede acotar con la norma? o como se llega a la relación con epsilon?

Con lo que queda demostrado que el límite es 0, según la definición de límite.

Saludos.