2o ciclo Integrar sobre camino

[Stormkalt]

Hola amigos.

Estoy resolviendo algunos ejercicios de variable compleja de integrales sobre caminos y se me presentó este:

$\int_C {f(z)dz} <br />$

donde

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$C = \left\{ {z \in \mathbb{C}:a \leqslant \Im (z) \leqslant b} \right\}<br />$

El tema es que la parametrización no parece ser una curva sino una región puesto que la parte imaginaria está entre dos valores.
Es decir, si C fuese una circunferencia u otra curva sería bien simple.
¿Qué se les ocurriría hacer?

[alespa07]

Re: Integrar sobre camino

Hola amigos.

Estoy resolviendo algunos ejercicios de variable compleja de integrales sobre caminos y se me presentó este:

$\int_C {f(z)dz} <br />$

donde

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$C = \left\{ {z \in \mathbb{C}:a \leqslant \Im (z) \leqslant b} \right\}<br />$

El tema es que la parametrización no parece ser una curva sino una región puesto que la parte imaginaria está entre dos valores.
Es decir, si C fuese una circunferencia u otra curva sería bien simple.
¿Qué se les ocurriría hacer?

Hola. Efectivamente, no se trata de un camino sino de una superficie ( no acotada además) tal y como lo has puesto. Debe de haber alguna restricción sobre la parte real como por ejemplo que sean inmaginarios puros por ejemplo. Revisa el enunciado, sino preguntale a tu profe, porque habrá un error.


Saludos.

[Stormkalt]

Re: Integrar sobre camino

Hola alespa07:

El tema que en el enunciado nada dice. Hay una serie de integrales cuyos caminos son circunferencias, parábolas y demás que ya los hice, pues no es complicado. El único que me queda es éste. Aparentemente la parte real puede ser cualquier valor.

¡Saludos!

[alespa07]

Re: Integrar sobre camino

Hola alespa07:

El tema que en el enunciado nada dice. Hay una serie de integrales cuyos caminos son circunferencias, parábolas y demás que ya los hice, pues no es complicado. El único que me queda es éste. Aparentemente la parte real puede ser cualquier valor.

¡Saludos!

Hola de nuevo. Lo que puedes hacer es calcular la integral de camino para cualquier parte real, pero esta se habrá de mantener fija durante la integración. Quizás sea eso lo que te pide implícitamente el enunciado. Sino, no es una integral de camino.

Saludos.

[Stormkalt]

Re: Integrar sobre camino

Gracias por interesarte alespa07.

Todavía no le encontré la vuelta. De todas maneras, el sábado es cuando curso análisis complejo y ahí le voy a preguntar.

¡Saludos!

[eljose]

Re: Integrar sobre camino

yo lo que haria es usar la parametrizacion de la 'recta' (estas usando la parte IMAGINARIA no la REAL , luego es una recta) $z=it$ con esto parametrizas la curva luego la integral nos queda

$\int_{ai}^{ib}idt sin(it)$ luego nos queda la primitiva

$cos(a)-cos(b)$ usando las propiedades de simetria del coseno

SI la curva fuese cerrada y la funcion f(z) analitica, entonces la integral TOTAL seria 0 'Teorema de Cauchy'

[Stormkalt]

Re: Integrar sobre camino

Hola, eljose:

Sí, al final hice algo muy similar. Tomé como parametrización la de un segmento.

$C(t) = z_0 + t(z_1 - z_0)<br />$

Donde la parte real fuese cualquier número $x$ y la parte imaginaria con $ai$ y $bi$

$\begin{gathered}<br /> C(t) = x + i(a + tb - ta) \hfill \\<br /> 0 \leqslant t \leqslant 1 \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Con lo que al final me dio:

$<br /> \cos \left( {x + ib} \right) - \cos \left( {x + ia} \right)<br />$

[Stormkalt]

Re: Integrar sobre camino

Hola a todos.

Efectivamente, hoy tuve la clase y al consultar con el profesor faltaba un dato, especificar el valor en x.

¡Saludos!