2o ciclo Integración variable compleja

[Stormkalt]

Saludos a la comunidad:

El enunciado es el siguiente:
Determinar el dominio de holomorfía para las siguientes funciones y probar que $\int_C {f(z)dz = 0}$, donde $C$ es la circunferencia de centro 0 y radio 1.

Una de las funciones es $f(z) = \frac{{z^2 }}<br /> {{z - 3}}$

Para calcular el dominio de holomorfía es relativamente fácil, pues hay que separar la parte real de la imaginaria y verificar que cumpla Cauchy Riemann

Pero el tema es que cuando reemplazo por la parametrización $e^{it}$ queda una integral muy complicada. No sé si habrá otra forma de hacerlo.

Gracias desde ya.

[Juanma1976]

Re: Integración variable compleja

Supongo que no puede utilizar ni el teorema de Cauchy ni la fórmula integral homónina.Sino es cero por el teorema, ya que la función es holoforma en el disco unidad.Saludos.

Saludos a la comunidad:

El enunciado es el siguiente:
Determinar el dominio de holomorfía para las siguientes funciones y probar que $\int_C {f(z)dz = 0}$, donde $C$ es la circunferencia de centro 0 y radio 1.

Una de las funciones es $f(z) = \frac{{z^2 }}<br /> {{z - 3}}$

Para calcular el dominio de holomorfía es relativamente fácil, pues hay que separar la parte real de la imaginaria y verificar que cumpla Cauchy Riemann

Pero el tema es que cuando reemplazo por la parametrización $e^{it}$ queda una integral muy complicada. No sé si habrá otra forma de hacerlo.

Gracias desde ya.

[alespa07]

Re: Integración variable compleja

Supongo que no puede utilizar ni el teorema de Cauchy ni la fórmula integral homónina.Sino es cero por el teorema, ya que la función es holoforma en el disco unidad.Saludos.

Hola. ME extrañaría que no le dejaran usar el teorema de Cauchy ya que parece una aplicación directa de ello. Además, haciendo el cambio de variable $z={\rm e }^{i\theta}$, la integral que te queda no es expresable en funciones elementales. En todo caso, se podría intentar acotar la integral pero con lo sencillo que es aplicar el teorema...

Saludos.

[Stormkalt]

Re: Integración variable compleja

Hola alespa07 y Juanma1976.

El tema es que justamente en esa clase el profesor nos hizo toda la demostación (terrible) del teorema de Cauchy Goursat y nos comentó que debíamos resolver sin aplicar dicho teorema. Dijo que lo hiciéramos usando parametrización.

¡Saludos!

[alespa07]

Re: Integración variable compleja

Hola alespa07 y Juanma1976.

El tema es que justamente en esa clase el profesor nos hizo toda la demostación (terrible) del teorema de Cauchy Goursat y nos comentó que debíamos resolver sin aplicar dicho teorema. Dijo que lo hiciéramos usando parametrización.

¡Saludos!

Hola. Me he precipitado un poco en decir que la integral no era expresable mediante funciones elementales. Lo primero que debes hacer es fijarte en que:

$\displaystyle\frac{z^2}{z-3}=z+3+\displaystyle\frac{9}{z-3}$

Entonces, tu integral queda:

$\displaystyle\int_C\displaystyle\frac{z^2}{z-3}dz=\displaystyle\int_Czdz+3\displaystyle\int_Cdz+9\displaystyle\int_C\displaystyle\frac{1}{z-3}dz$

Haciendo el cambio de variable $z={\rm e}^{i\theta}\quad,\quad 0\leq\theta\leq 2\pi$ es casi inmediato ver que las dos primeras integrales son nulas. Sólo te bastará con comprobar que la tercera también lo es. Dicha integral te queda:

$9\displaystyle\int_C\displaystyle\frac{1}{z-3}dz=-9i\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\frac{{\rm e}^{i\theta}}{{\rm e}^{i\theta}-3}d\theta$

Supongo que esta integral ya no te dará tantos problemas. Lo único, recuerda que cuando te salga el logaritmo, se trata del logaritmo de un complejo.

Si necesitas más ayuda avisa.

Saludos.

[Stormkalt]

Re: Integración variable compleja

Gracias alespa07:

¡Cómo no se me ocurrió factorizar previamente! Efectivamente, las dos primeras integrales dan cero y la segunda:

$9i\int_0^{2\pi } {\frac{{e^{it} }}<br /> {{e^{it} - 3}}} dt<br />$

Que da:

$\begin{gathered}<br /> 9i( - iLn( - 3 + e^{it} ))\mathop /\limits_0^{2\pi } \hfill \\<br /> 9(Ln( - 3 + \cos t + isent))\mathop /\limits_0^{2\pi } \hfill \\<br /> 9(Ln( - 3 + 1)) - 9(Ln( - 3 + 1) \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

donde:

$Ln(z) = \ln \left| z \right| + i\arg (z)<br />$

También da cero. De modo que queda demostrado sin usar el teorema de Cauchy

¡Saludos cordiales!