1r ciclo Continuidad de una función

[har]

Hola otra vez, ahora estoy intentando comprender lo que es continuidad . Si una funcion es continua en xo entonces existe el limite f(x) cuando x---xo y es igual a f(xo).
El limite nos dice lo que ocurre al rededor de xo pero no nos puede decir nada del punto en si, verdad?. Entonces, cuando potencialmente la funcion tiende a ese punto quiere decir que es continua en ese punto?. No se si seria correcto imaginarme el punto como si tuviera cierto grosor o radio, epsilon.

Gracias. Saludos!.

[Afisionado]

Re: Continuidad de una funcion

Hola otra vez, ahora estoy intentando comprender lo que es continuidad . Si una funcion es continua en xo entonces existe el limite f(x) cuando x---xo y es igual a f(xo).
El limite nos dice lo que ocurre al rededor de xo pero no nos puede decir nada del punto en si, verdad?. Entonces, cuando potencialmente la funcion tiende a ese punto quiere decir que es continua en ese punto?. No se si seria correcto imaginarme el punto como si tuviera cierto grosor o radio, epsilon.

Gracias. Saludos!.

Hola de nuevo,
el concepto de continuidad es intuitivamente más fácil de entender ya que se puede asociar a una linea que no tiene cortes.

Si quieres usar el mismo símil de la diana, creo que la analogía consistiría en quitar el centro de la misma para simular las funciones discontinuas. De este modo, el límite seguiría siendo la tendencia a acertar en el centro, pero justo en el centro de la diana el disparo falla. Es decir, en las funciones discontinuas épsilon sigue siendo el mismo, pero el valor "a" ha desaparecido; es decir, el límite no coincide con el valor de la función f(x) en ese punto porque ese valor no está en la gráfica.

Para una información más detallada visita este enlace. En las gráficas que hay dibujadas puedes ver claramente las que son continuas y las que no.

Un saludo.

[Metaleer]

Re: Definicion Limite de una Sucesion

Creo que algunos ejemplos pueden ayudar.

Consideremos $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 +1 - 2x}{x-1}$. Si analizas $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 +1 - 2x}{x-1}$, verás que tiende a , el límite existe y vale eso. ¿Pero qué pasa si intentas sustituir a palo seco en la función $x = 1$? Obtienes $0/0$; la función, tal y como la he definido, no está definida en $x = 1$. Ahora bien, si yo redefino la función como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

entonces sí puedo hablar de su continuidad en $x = 1$, porque ya está definida ahí. Tienes que recordar que una de las cosas que la definición de continuidad implica es que la función debe estar definida en el punto en cuestión. Observa que he puesto puesto un asterisco a la función redefinida porque es otra función, ya que el dominio no coincide con el de $f(x)$ sin asterisco.

Otro ejemplo clásico: $g(x) = \displaystyle \frac{\sin x}{x}$. Sabemos que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ es $1$, pero de nuevo, la sustitución directa da $0/0$. Si consideramos la función

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

pasa lo mismo, esta función ahora sí es continua en el origen.

Estos dos ejemplos constituyen un ejemplo de discontinuidad evitable, porque se pueden evitar dando el valor adecuado a la función en los puntos donde es discontinua.

Conclusión: el hecho de que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)$ exista no es suficiente para analizar la continuidad en un punto: hay que asegurarse que

1. La función está definida en $x = x_0$,
2. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)$ existe, y
3. El valor de la función en $x = x_0$ coincide con el valor de este límite.

Saludos.