2o ciclo Radio de convergencia en serie de Taylor

[Stormkalt]

Hola gente del foro:
Estoy calculando series de Taylor y la generalización de Laurent en variable compleja y me surgió la siguiente duda:
La serie de Taylor es:

$\begin{gathered}<br /> \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{(n)} (z_0 )}}<br /> {{n!}}} (z - z_0 )^n \hfill \\<br /> a_n = \frac{{f^{(n)} (z_0 )}}<br /> {{n!}} \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Para calcular su radio de convergencia R tengo el teorema de Cauchy Hadamard:

$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( {\left| {a_n } \right|} \right)^{\frac{1}<br /> {n}} }}<br />$

Que aparentemente se transforma en

$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( {\left| {\frac{{a_{n + 1} }}<br /> {{a_n }}} \right|} \right)}}$

¿Son equivalentes esas dos expresiones? ¿Cómo se llega a la segunda a partir de la primera? O, en todo caso, ¿cuál se usa para Taylor?

¡Saludos!

[alespa07]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Hola gente del foro:
Estoy calculando series de Taylor y la generalización de Laurent en variable compleja y me surgió la siguiente duda:
La serie de Taylor es:

$\begin{gathered}<br /> \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{(n)} (z_0 )}}<br /> {{n!}}} (z - z_0 )^n \hfill \\<br /> a_n = \frac{{f^{(n)} (z_0 )}}<br /> {{n!}} \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Para calcular su radio de convergencia R tengo el teorema de Cauchy Hadamard:

$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( {\left| {a_n } \right|} \right)^{\frac{1}<br /> {n}} }}<br />$

Que aparentemente se transforma en

$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \left( {\left| {\frac{{a_{n + 1} }}<br /> {{a_n }}} \right|} \right)}}$

¿Son equivalentes esas dos expresiones? ¿Cómo se llega a la segunda a partir de la primera? O, en todo caso, ¿cuál se usa para Taylor?

¡Saludos!

Hola. A bote pronto, no te sabría decir si se pasa de una a otra. Lo que si sé es que, en general, ambas fórmulas se demuestran por separado con un esquema de demostración bastante parecido. Para cualquier serie de potencia ( de taylor por ejemplo) puedes usar cualquiera de las dos (las que más te conviene respecto de los coeficientes que tengas) mientras no el límte no te de 1 que es el valor conflictivo. En realidad, la única manera de zanjar siempre es usar la fórmula de Cauchy-Hadamard que es :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos.

[Dj_jara]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Eso se debe al criterio de la raiz que es una derivación del teorema de Stolz, el teorema de Stolz te dice que si tienes 2 succesiones de terminos $a_n,b_n$ siendo monotonas (crecientes o decrecientes) de forma que su límite sea $\infty$ o 0(el infinito en caso de crecientes y el 0 en caso de decrecientes) si existe $\lim\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lambda$ entonces $\lim \frac{a_n}{b_n}=\lambda$

Si tu tienes
$\lim \sqrt[n]{|a_n|} =\lim e^{\dfrac{\ln |a_n|}{n}}$
Calculando

$\lim\dfrac{\ln |a_n| - ln |a_{n-1}|}{n- (n-1)}= \lim \dfrac{\ln \left|\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right|}{1}$
con lo que aplicando el teorema de Stolz
$\lim \sqrt[n]{|a_n|}=\lim e^{\ln\left|\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right|}= \lim\left|\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right|$

[Stormkalt]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Hola alespa07
Gracias por interesarte.

Pero supongamos que me piden expresar en serie de Taylor y encontrar el radio de convergencia de:

$f(z) = \frac{1}<br /> {{z+2}}<br />$

en el punto

$z_0 = 1 + i$

Cuando calculo Taylor llego a


$\sum\limits_{n = 0}^\infty {( - 1)^n (z + 2)^{ - (n + 1)} (z - (1 + i))^n }$

Y aquí según aplique una u otra fórmula llego a radios diferentes. Si aplico


$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\left| {\frac{{a_{n + 1} }}<br /> {{a_n }}} \right|} \right)}}<br />$

el resultado es


$R = \sqrt {10}$

Y por el teorema de Cauchy-Hadamard

$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\left| {a_n } \right|} \right)^{\frac{1}<br /> {n}} }}<br />$

Me da radio 1

[Dj_jara]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Y aquí según aplique una u otra fórmula llego a radios diferentes. Si aplico

El radio que te debería dar es raíz de 5 (y en este caso lo puedes ver visualmente porque la única singularidad de la función es en -1 y d(-1, 1+i) = raíz(5) (hay un teoremilla por ahí que relaciona radio de convergencia con distancia a la singularidad más próxima, deberías repasar lo que has hecho, porque da facilmente, quizás el error lo tengas en la expresión de a_n que has tomado ya que la serie de Taylor la has puesto mal, si lo pones todo paso por paso sera más fácil ayudarte.

[Stormkalt]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Hola Dj_jara

No había visto tu mensaje.
En breve lo pongo a ver por qué no llego a raíz de 5

¡Saludos!

[Stormkalt]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Primero calculo algunas derivadas y obtengo la generalización.


$\begin{gathered}<br /> f(z) = (z + 2)^{ - 1} \hfill \\<br /> f`(z) = - (z + 2)^{ - 2} \hfill \\<br /> f``(z) = 2(z + 2)^{ - 3} \hfill \\<br /> f```(z) = - 6(z + 2)^{ - 4} \hfill \\<br /> f^{(n)} (z) = ( - 1)^n n!(z + 2)^{ - (n + 1)} \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Luego reemplazo por el punto y pongo en Taylor

$\begin{gathered}<br /> f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^n n!(1 + i + 2)^{ - (n + 1)} }}<br /> {{n!}}} (z - (1 + i))^n \hfill \\<br /> f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {( - 1)^n (3 + i)^{ - (n + 1)} } (z - (1 + i))^n \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Y aquí tomo el coeficiente a sub n para evaluar el radio de convergencia:


$a_n={( - 1)^n (3 + i)^{ - (n + 1)} }$


$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim \left| {\frac{{( - 1)^{n + 1} (3 + i)^{ - (n + 2)} }}<br /> {{( - 1)^n (3 + i)^{ - (n + 1)} }}} \right|}\limits_{z \to \infty } }} = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim \left| {( - 1)(3 + i)^{ - 1} } \right|}\limits_{z \to \infty } }} = \left| {3 + i} \right| = \sqrt {10} <br />$

Mediante la otra fórmula veo que tenía un error y también me da raíz de 10


$R = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim \left| {( - 1)^n (3 + i)^{ - (n + 1)} } \right|^{\frac{1}<br /> {n}} }\limits_{z \to \infty } }} = \frac{1}<br /> {{\mathop {\lim \left| {(3 + i)^{ - \frac{{(n + 1)}}<br /> {n}} } \right|^{} }\limits_{z \to \infty } }} = \left| {3 + i} \right| = \sqrt {10}$

De modo que corrobora lo que dijiste alespa07 y la demostración tuya Dj_jara. Pero no llego a raiz de 5 que es lo que efectivamente sale gráficamente.

[Dj_jara]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

De modo que corrobora lo que dijiste alespa07 y la demostración tuya Dj_jara. Pero no llego a raiz de 5 que es lo que efectivamente sale gráficamente.

Eso es porque la primera vez pusiste 1+z y la segunda 2+z, pero así esta bien.

[Stormkalt]

Re: Radio de convergencia en serie de Taylor

Eso es porque la primera vez pusiste 1+z y la segunda 2+z, pero así esta bien.

¡Cierto! Lo voy a arreglar para que no haya confusiones posteriores.
Ahora me quedó claro que ambas formas de calcular radios son equivalentes y coinciden con la resolución geométrica.

¡Saludos!