1r ciclo Ejercicio con función trascendente. ¿Cómo proceder?

[elfio]

Hola a todos. Aunque me paso de muy de vez en cuando, hacía ya mucho tiempo que no posteaba. Necesito de vuestra ayuda.

Se trata de un problema de Análisis Matemático.

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Ejercicio.-

a) Estudia la monotonía y extremos de la función f(x)

$f(x)= \frac{e^{ax}}{x}$, $a>0$

b) Fijadas las constantes $a,b>0$ determina la existencia, o no, y el número de soluciones de la ecuación:

$e^{ax}=bx$

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Yo he hecho el apartado a), y he llegado a la conclusión de que tiene un extremo relativo en $x=a^{-1}$, que, al ser $a>0$, resulta ser un mínimo.


Imagino que de alguna este resultado ha de serme útil para el apartado b), pero no se cómo proceder con funciones trascendentes.
Un compañero de la facultad me comentó que debía estudiar de alguna forma las derivadas de ambas funciones para ver si existían soluciones, pero tampoco es algo de lo que estuviera muy convencido.

¿Alguien me podría echar una mano?

[Saplaya]

Re: Ejercicio con función trascendente. ¿Cómo proceder?

[FONT=Times New Roman]Hola elfio[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si divides en ambos lados por x, te queda a la izquierda la f(x) que has estudiado y a la derecha una recta horizontal g(x)=b.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si b es menor que f(1/a) (partiendo de que el mínimo está en donde lo has obtenido), f(x) y g(x) no se cortan (no hay solución).[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si b es igual f(1/a), hay una solución.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si b es mayor que f(1/a), hay dos soluciones.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Un saludo[/FONT]

[elfio]

Re: Ejercicio con función trascendente. ¿Cómo proceder?

Muchas gracias.

No veía la opción de si $b>f(a^{-1})$, pero claro, con la discontinuidad que presenta en el 0, y con el mínimo en ese punto, ahora si veo claro que corte en dos puntos. ¡Lo que puede hacer una gráfica!

Muchas gracias de verdad, era una función que me traía de cabeza xD

[Saplaya]

Re: Ejercicio con función trascendente. ¿Cómo proceder?

Muchas gracias.

No veía la opción de si $b>f(a^{-1})$, pero claro, con la discontinuidad que presenta en el 0, y con el mínimo en ese punto, ahora si veo claro que corte en dos puntos. ¡Lo que puede hacer una gráfica!

Muchas gracias de verdad, era una función que me traía de cabeza xD

De nada.

Saludos