1r ciclo No consigo resolver este límite.

[elfio]

El límite en cuestión es:

$\lim_{x\to \infty} \frac{1^3+2^3+3^3+...+n^3}{n^p}, p=1,2,3,...$

Aplicando Stolz me queda

$\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^3}{n^p - (n+1)^p}$

Busco una exponencial en el denominador (cosa de la que no estoy muy seguro de que se pueda hacer):

$\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+(\frac{n}{n+1})^p}=\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+(1+1/n)^{-p}}=\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+e^{-p/n}}$

Y ya de ahí no se seguir... lo mismo tiene una resolución simple, pero no soy capaz de verla.

Otra de las opciones que barajaba era poner el numerador en forma de sumatorio, pero no se cómo calcular una expresión que sea equivalente a ese sumatorio. Ya me pasó en otra ocasión con un límite parecido y no me sirvió utilizar la fórmula para la suma de una sucesión.

[Jose D. Escobedo]

Re: No consigo resolver este límite.

El límite en cuestión es:

$\lim_{x\to \infty} \frac{1^3+2^3+3^3+...+n^3}{n^p}, p=1,2,3,...$

Aplicando Stolz me queda

$\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^3}{n^p - (n+1)^p}$

Busco una exponencial en el denominador (cosa de la que no estoy muy seguro de que se pueda hacer):

$\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+(\frac{n}{n+1})^p}=\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+(1+1/n)^{-p}}=\lim_{x\to \infty} \frac{-(n+1)^{3-p}}{-1+e^{-p/n}}$

Y ya de ahí no se seguir... lo mismo tiene una resolución simple, pero no soy capaz de verla.

Otra de las opciones que barajaba era poner el numerador en forma de sumatorio, pero no se cómo calcular una expresión que sea equivalente a ese sumatorio. Ya me pasó en otra ocasión con un límite parecido y no me sirvió utilizar la fórmula para la suma de una sucesión.

Trata de usar la siguiente expresion en el numerador

$\displaystyle \sum_{i= 1}^n i^3 = \frac{(n(n+1))^2}{2^2}$

solo para p=4 vas a encontrar valor diferente de cero, para p=1, 2,3 va a ser divergente, para p>4 (con p entero) va a ser cero si es que estas evaluando para p "en" los enteros

[elfio]

Re: No consigo resolver este límite.

Me podrías decir cómo obtengo la expresión de la suma de potencias para $k^n$?

[Jose D. Escobedo]

Re: No consigo resolver este límite.

Hace poco escuche que alguien habia obtenido unos resultados sobre esta serie, pero no he visto ninguna publicacion al respecto. Creo que puedes obtener mas informacion en el canal del ingenio de esta web en el subforo de micelanea, creo que Fox empeso el hilo de esa summatoria y tambien trabajo en ello.

Pero puedes utilizar la siguiente desigualdad:

$\displaystyle \frac{1}{k +1}n^{k+1} < 1^k + 2^k + 3^k +...+n^k <(1+ \frac{1}{n})^{k+1} \frac{1}{k+1} n^{k+1}$

Creo que tambien puedes probar con la integral definida.

[elfio]

Re: No consigo resolver este límite.

Esta misma tarde he hallado una respuesta satisfactoria al problema. Es la siguiente:

Partiendo de
$\lim_{x\to \infty} \frac{(n+1)^3}{(n+1)^p -n^p}$
(Antes había aplicado mal el Teorema de Stolz)

Debemos iniciar el desarrollo del producto notable del denominador:

$(n+1)^p=n^p+a_1n^{p-1}+a_2n^{p-2}+...$

Conocemos los coeficientes $a_i$ gracias al triángulo de Pascal (o te Tartaglia) y ya de aquí, pasamos a a evaluar el límite en función del parámetro $p$

$\lim_{x\to \infty} \frac{(n+1)^3}{(n^p+a_1n^{p-1}+a_2n^{p-2}+...) -n^p}= \lim_{x\to \infty} \frac{(n+1)^3}{a_1n^{p-1}+a_2n^{p-2}+...}$

El término de mayor del denominador elevado a la mayor potencia se nos anula, luego hay que evaluar el límite teniendo en cuenta:

$p-1<3$ ; $p<4$ → $\infty$
$p-1>3$ ; $p>4$ → 0
$p-1=3$ ; $p=4$

En este último caso, tenemos que ver el coeficiente para el desarrollo para $p=4$, y vemos que $a_1=4$, con lo que el límite tiende a un valor finito, y ese es 1/4

$p-1=3$ ; $p=4$ → 1/4

Un saludo. Gracias de todas formas.