1r ciclo Ayuda con un ejercicio de logaritmo.

[KaryTanis]

Hola. Tengo dos ejercicios:

(a) Demuestre que para todo $x \in \mathbb{R}$, se tiene que $e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$.
(b) Demuestre que para todo $x > 0$ se tiene que $log_e(x) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{x} - 1)n$.

El primero lo he resuelto así:

Demostración: Sea $x \in \mathbb{R} - { 0 }$.

Como $lim_{n \to \infty} \frac{log_e(1+t)}{t} = 1$ y como la sucesión $(\frac{x}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a y $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{x}{n} \neq 0$, se tiene:

$\lim_{n \to \infty} \frac{log_e(1 + \frac{x}{n})}{\frac{x}{n}} = 1$ ; por lo tanto,

$lim_{n \to \infty} log_e(1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{n \to \infty} nlog_e(1 + \frac{x}{n}) = \lim_{n \to \infty} [x \cdot \frac{x}{n} \cdot log_e(1 + \frac{x}{n})] =$

$= lim_{n \to \infty} x \cdot \frac{log_e(1 + \frac{x}{n})}{\frac{x}{n}} = x$.


Como la función exponencial en base $e$ es continua en $x$ y la sucesión $(log_e(1 + \frac{x}{n}))^n$ tiende a $x$, se tiene que:

$\lim_{n \to \infty} e^{log_e(1 + \frac{x}{n})^n} = e^x$, es decir:

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$.




¿Alguna idea para el segundo?