1r ciclo Pregunta examen Analisis I

[har]

Hola! Antes de nada quiero desearos felices fiestas a todos
Bien, estoy mirando un examen pasado de la asignatura y queria saber si estoy en lo cierto. En una pregunta de responder razonadamente si son verdaderas o falsas las afirmaciones, la priimera dice : Si f : R → R es continua en un punto x0 ∈ R entonces existe un intervalo I ⊂ R con
el centro en el punto x0 tal que la funcion f esta acotada en I.

Yo creo que es falsa, por la definicion de continuidad se que para cualquier epsilon existe un ENTORNO delta tal que 0 es menor que |x-x0| que es menor que delta. Pero esto no se puede considerar un intervalo puesto que x no puede ser 0, ¿verdad? o eso he leido aqui :http://es.wikipedia.org/wiki/Interva...m%C3%A1tica%29

Gracias. Saludos.

[aLFRe]

Re: Pregunta examen Analisis I

Hola! Antes de nada quiero desearos felices fiestas a todos

Gracias.
Yo también te deseo felices fiestas y un próspero año nuevo.

Bien, estoy mirando un examen pasado de la asignatura y queria saber si estoy en lo cierto. En una pregunta de responder razonadamente si son verdaderas o falsas las afirmaciones, la priimera dice : Si f : R → R es continua en un punto x0 ∈ R entonces existe un intervalo I ⊂ R con
el centro en el punto x0 tal que la funcion f esta acotada en I.

Yo creo que es falsa, por la definicion de continuidad se que para cualquier epsilon existe un ENTORNO delta tal que 0 es menor que |x-x0| que es menor que delta. Pero esto no se puede considerar un intervalo puesto que x no puede ser 0, ¿verdad? o eso he leido aqui :http://es.wikipedia.org/wiki/Interva...m%C3%A1tica%29

El enlace que has puesto contiene la definición y caracterización de lo que se llama intervalos
y una generalización a espacios métricos ( bolas )
Yo creo que no responde a la pregunta y en tu solución estás usando mal el vocabulario.

La continuidad en una funcion real de variable real en un punto $x_0$ viene dada
por la igualdad $lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
esto si recuerdadas la definición de límite viene a ser que
$\forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 ,,$
$0 < ! x- x_0| < \delta \to |f(x)- f(x_0)| < \epsilon$

Lo que quiere decir esto que es que si tienes un entorno de $f(x_0)$
- el valor de la función en el punto $x_0$ - puedes encontrar otro entorno de
$x_0$ de forma que la imagen por f de los puntos del segundo entorno
te salen dentro del primero.

Si se cumple esa condición y eliges como intervalo I $( x_0- \delta, x_0 + \delta)$,
ese $\delta$ depende de $\epsilon$
yo diría que se cumpliría $f(x) > f(x_0)-\epsilon$ y $f(x) < f(x_0) + \epsilon$
luego la función está acotada... salvo error.

Gracias. Saludos.

Saludos.

[KaryTanis]

Re: Pregunta examen Analisis I

En términos simples, tienes lo siguiente:

Sea $I = (-\delta + x_0, \delta + x_0)$.

Entonces se tiene que $\forall x \in I \Rightarrow -\delta + x_0 < x < \delta + x_0 \Rightarrow |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \Rightarrow -\epsilon + f(x_0) < f(x) < \epsilon + f(x_0).$

Luego $f(x)$ es acotada.