1r ciclo ¿Qué es un punto de acumulación?

[idontknow]

Buenas,

hace ya días que intento comprender qué es un punto de acumulación pero no lo llego a comprender. Entiendo la idea que se me quiere dar pero a la hora de la práctica no entiendo como localizarlo. Por ejemplo, dado este problema:

$S= \left\{-0.9, 0.9, -0.99, 0.99, -0.999, 0.999, ...\right\}S \subset \mathbb{R}$

Este conjunto se aproxima a -1 y 1 y según tengo anotado ambos son los únicos puntos de acumulación que posee el conjunto. Ahora bien, ¿cómo sé tal cosa? un punto de acumulación es un punto que si hago una bola centrada en dicho punto debe contener otro punto que sea del conjunto sin contarse a sí mismo pero ¿el radio de esta bola cual es? ¿infinitésimo? Porque si no fuese así ¿todos los puntos serían de acumulación no? Pero si la respuesta es infinitésimo, ¿A caso no hay un irracional entre 2 racionales? Pues si este conjunto tan sólo posee racionales, ¿Cómo afirmar que -1 y 1 lo son? Pues el primer elemento después de ellos sería un irracional antes que un racional del conjunto y por tanto no podría serlo no? La verdad que estoy hecho un lío.

Por otra parte, esto duda de los irracionales es debido a que el conjunto es de los reales ¿no? Me explico. Si en el problema en vez de pertencer S a los reales lo hiciese por ejemplo a los racionales, ¿Dicho problema desaparecería no? ¿O igualmente seguiría trabajando sobre la línea de los reales en el fondo?

[carroza]

Re: ¿Qué es un punto de acumulación?

Hola.

El radio de la bola debe ser un número no nulo arbitrariamente pequeño.
Da igual que sea racional o real, porque hay numeros racionales y reales arbitrariamente pequeños.

En to caso, los puntos de acumulación son 1 y -1, porque para cualquier numero diferente, digamos a, puedes encontrar un radio en el que no se encuentre ningún punto de la serie, salvo que a pertenezca a la serie.

[arreldepi]

Re: ¿Qué es un punto de acumulación?

Buenas,

hace ya días que intento comprender qué es un punto de acumulación pero no lo llego a comprender. Entiendo la idea que se me quiere dar pero a la hora de la práctica no entiendo como localizarlo. Por ejemplo, dado este problema:

$S= \left\{-0.9, 0.9, -0.99, 0.99, -0.999, 0.999, ...\right\}S \subset \mathbb{R}$

Este conjunto se aproxima a -1 y 1 y según tengo anotado ambos son los únicos puntos de acumulación que posee el conjunto. Ahora bien, ¿cómo sé tal cosa? un punto de acumulación es un punto que si hago una bola centrada en dicho punto debe contener otro punto que sea del conjunto sin contarse a sí mismo pero ¿el radio de esta bola cual es? ¿infinitésimo? Porque si no fuese así ¿todos los puntos serían de acumulación no? Pero si la respuesta es infinitésimo, ¿A caso no hay un irracional entre 2 racionales? Pues si este conjunto tan sólo posee racionales, ¿Cómo afirmar que -1 y 1 lo son? Pues el primer elemento después de ellos sería un irracional antes que un racional del conjunto y por tanto no podría serlo no? La verdad que estoy hecho un lío.

Por otra parte, esto duda de los irracionales es debido a que el conjunto es de los reales ¿no? Me explico. Si en el problema en vez de pertencer S a los reales lo hiciese por ejemplo a los racionales, ¿Dicho problema desaparecería no? ¿O igualmente seguiría trabajando sobre la línea de los reales en el fondo?

Hola!
Hoy mismo hemos estado hablando de esto .

Un punto de acumulación de un subconjunto S es un punto que puede ser o no ser del subconjunto tal que para un radio (tan pequeño como quieras) se puede crear una bola con centro en él y, seguro, que contendrá puntos del subconjunto diferente de él, es decir

$$\forall \vec a \in S\subset\mathbb{R}^n \; \exists \;\varepsilon >0 \;|\; B_n(\vec a,\varepsilon) \cap S-\{a\} \neq\emptyset.$$

En el caso del subconjunto que has puesto, 1 y -1 no pertenecen al conjunto, pero como la série siempre va creciendo, si escojes una bola con centro en 1 o -1, por pequeño que sea el radio de ésta, siempre encontrarás un punto de S.

Si fuese subconjunto de $\mathbb{Q}$ estarías en las mismas condiciones, ya que, al ser denso, entre dos racionales siempre hay un racional, por lo tanto, por muy cerca que estés de 1, siempre encontrarás otro 0,9...9999 entre el anterior y 1. En este caso, como pertenece a los reales, dichos números siempre son los más cercanos a 1 que puedes encontrar.

Además, puedes asegurar (es un teorema) que dicha bola tiene no sólo uno, sino infinitos puntos del subconjunto S, ya que si no, dejaría de ser de acumulación para pasar a ser un punto aislado (en caso de pertenecer a S).

Un saludo!

[idontknow]

Re: ¿Qué es un punto de acumulación?

Al final hoy me contestó la pregunta mi profe aunque gracias

Ya entendí el problema conceptual que tenía cuando pasaba este tipo de cosas aunque siempre te queda ahí el caos del racional e irracional... porque claro entre 2 racionales hya un irracional y entre 2 irracionales un racional luego si 1 es racional el siguiente es irracional que no estaba en el conjunto pero al final todo se soluciona didicendo (o al menos esa es la conclusión que se me ha quedado) que como es en "infinitésimo" sirve.

[susakistan]

Re: ¿Qué es un punto de acumulación?

Muchas gracias por vuestras respuestas que me han sido muy útiles y claras pues tenía un problemilla con este concepto y me lo habéis resuelto.