1r ciclo Límite + desarollo de Taylor

[arreldepi]

Hola, estoy mirando exámenes de otros años y me he encontrado con una pregunta en la que se tiene que estudiar la continuidad de la siguiente función:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Entonces, en la solución, cuando toman el límite de cero por la derecha, para simplificarlo desarrollan algunos términos, uno de ellos es:

$$\sqrt{1+x}$$

Lo que no entiendo es por qué usan éste y no con $x^2$ que es lo que aparece en la función, quizás al final da el mismo resultado, pero los desarrollos son distintos. En general, ¿esto siempre sirve?


Gracias! Un saludo!

[[Beto]]

Re: Límite + desarollo de Taylor

Hola, no entiendo muy bien a lo que te refieres, pero desarrollando en serie de taylor a la función para $x>0$, se obtiene que:

$$f(x)=\frac{5}{3}-\frac{5\,x}{3}+\frac{67\,{x}^{2}}{30}-\frac{443\,{x}^{3}}{180}+\frac{6859\,{x}^{4}}{2520}-\frac{5401\,{x}^{5}}{1680}\cdots$$

ahí puedes observar fácilmente que el límite por la derecha cuando $x \to 0$ es $\dfrac{5}{3}$.

[arreldepi]

Re: Límite + desarollo de Taylor

Hola, no entiendo muy bien a lo que te refieres, pero desarrollando en serie de taylor a la función para $x>0$, se obtiene que:

$$f(x)=\frac{5}{3}-\frac{5\,x}{3}+\frac{67\,{x}^{2}}{30}-\frac{443\,{x}^{3}}{180}+\frac{6859\,{x}^{4}}{2520}-\frac{5401\,{x}^{5}}{1680}\cdots$$

ahí puedes observar fácilmente que el límite por la derecha cuando $x \to 0$ es $\dfrac{5}{3}$.

Hola!

Bueno, creo que me llevaría un buen tiempo hacer el desarrollo de Taylor de esta función . Para hacerlo más fácil, lo que hacía (y lo que hay en la solución) es el desarrollo de algunos componentes de la función, por ejemplo:

$$\ln(1+x)\;\;\; \cos(x)\;\;\; \sqrt{1+x}$$

lo que yo no entiendo es por qué lo hacen para $\sqrt{1+x}$ en lugar de para $\sqrt{1+x^2}$, es decir, no sé si es una simplificación siempre válida, o sólo es aplicable en este caso (y entonces por qué ).


Muchas gracias!

[[Beto]]

Re: Límite + desarollo de Taylor

Hola!

Bueno, creo que me llevaría un buen tiempo hacer el desarrollo de Taylor de esta función

lo que yo no entiendo es por qué lo hacen para $\sqrt{1+x}$ en lugar de para $\sqrt{1+x^2}$, es decir, no sé si es una simplificación siempre válida, o sólo es aplicable en este caso (y entonces por qué ).

Eso es porque $\sqrt{1+x^2}$ y $\sqrt{1+x}$, al tomarles límite cuando $x\to 0$ da lo mismo, es lo que se llama aproximación por infinitésimos, puedes sustituir a cualquier función que tenga el mismo límite por otra para así poder simplificar expresiones inderterminadas, aunque no recuerdo exactamente bajo que condiciones.