1r ciclo ¿Cómo se hacen estas integrales?

[idontknow]

Buenas,

en los ejercicios de clase me propusieron hacer unas cuantas integrales y me quedé atascado en 3. La verdad que no sé cómo las han hecho aunque tengo las soluciones.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{2cos^2x +sinxcosx + sin^2x}$

Esta integral no sé por donde cojerla. Pensé en quitarme el $cos^2$ utilizando $1 - sin^2x$ pero ni aún así hay manera. La solución es:

$\frac{2}{\sqrt{7}}arctan \left(\frac{2tanx + 1}{\sqrt{7}}\right) + C$

En esta:

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

Pensé inmediatamente en arcsin por el denominador pero no sé qué hacer con el numerador. Intenté meter y sacar un 1 para haber si con el 1 podía hacer algo ya que separando la fracción tendría el arcsin claramente pero no hay manera. El resultado:

$-\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} +\frac{1}{2}arcsinx + C$

Y por último,

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-2}}$

Esta última se parece a la segunda y también pensaba en arcsin pero la solución dice arccos. Había pensado intentar sacar el 2 del denominador para que la raíz se quedara del estilo arcsin aunque ahora que pienso si saco el 2 sacaría -2 y por tanto el - se iría arriba y sería arcos... La solución:

$\frac{1}{\sqrt{2}}arccos\frac{\sqrt{2}}{x} + C$

¿Qué cambios de variables hacen? es que no logro verlos. Sé por donde deben de moverse (al menos estas 2 últimas por lo del arcsin y arcos) pero no logró ver como se quitan todo de encima.

[arreldepi]

Re: ¿Cómo se hacen estas integrales?

Hola!

Buenas,


$\int \frac{\dd x}{2\cos^2x +\sin x\cos x + \sin^2x}$

A mi esta me costó un montón, pero al final en un libro vi que cuando tienes cosas de este tipo es útil buscar tangentes. Yo lo que hice es dividir arriba y abajo por $\cos^2(x)$, entonces te queda:

$$\int\frac{\frac{\dd x}{\cos^2(x)}}{2+\tan(x)+\tan^2(x)}$$

Luego haces el siguiente cambio de variable:

$$u \equiv \tan(x)\quad \dd u\equiv \frac{\dd x}{\cos^2(x)}$$

Buscas el binomio abajo.

$$\int\frac{\dd u}{u^2+u+2} = \int \frac{\dd u}{\left({u+\frac 12}\right)^2+2-\frac{1}{4}} = \int \frac{\dd u}{\left({u+\frac 12}\right)^2+\frac{7}{4}}$$

Ahora ya es una integral inmediata (si no, puedes hacer otro cambio de variable):

$$\int \frac{u'}{a^2 + u^2}\dd x = \frac 1a \arctan \frac{u}{a}+k$$

Es decir:

$$\int \frac{\dd u}{\left({u+\frac 12}\right)^2+\frac{7}{4}} = \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left({\frac{2(u+\frac 12)}{\sqrt 7}}\right) = \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left({\frac{2u+1}{\sqrt 7}}\right)$$

Deshaciendo el cambio de variable:

$$\int \frac{\dd x}{2\cos^2x +\sin x\cos x + \sin^2x} =\boxed{\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left({\frac{2\tan+1}{\sqrt 7}}\right)+k}$$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

Esta nos la hicieron en clase, al final hay una identidad trigonométrica que es un poco rara xD:

Primero de todo haz el siguiente cambio de variable:

$$x\equiv \sin t\quad \dd x\equiv \cos t\dd t$$

Entonces te queda que:

$$\int \frac{\sin^2 t\cos t}{\sqrt{1-\sin^2t}}\dd t = \int\frac{\sin^2t \cos t}{\cos t}\dd t = \int \sin^2 t\dd t = \frac 12\int (1-\cos 2t) \dd t = \frac 12 [t -\frac 12 \sin 2t] + k$$

Ahora, deshaces el cambio de variable:

$$\frac 12 \arcsin x - \frac 14 \sin(2\arcsin x)+ k$$

Ahora, teniendo en cuenta la fórmula del seno del ángulo doble:

$$\sin(\arcsin 2(x) ) = \underbrace{2\underbrace{\sin(\arcsin x)}_{= x}\underbrace{\cos(\arcsin x)}_{ = \sqrt{1-x^2}}}_{2x\sqrt{1-x^2}}$$

Por lo tanto, al final queda:

$$\int \frac{x^2\dd x}{\sqrt{1-x^2}} = \boxed{\frac{\arcsin(x)}{2} - \frac 12 x \sqrt{1-x^2}}$$

Y por último,

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-2}}$

Haz el siguiente cambio de variable:

$$y^2 \equiv x^2 -2 \quad 2y\dd y \equiv 2x\dd x \Rightarrow y\dd y \equiv\ x\dd x$$

Al final llegarás a:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left({\frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}}\right)$$

Es equivalente al resultado de las soluciones, sólo tienes que hacer lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y trabajar esto un poco (mucho) y se llega al resultado de las soluciones.

O... puedes ahorrarte todo esto, mirar una tabla de integrales de algún Schaum y ver que es una integral inmediata .

Un saludo!

[electr0n]

Re: ¿Cómo se hacen estas integrales?

La primera integral también sale bastante bien si haces el cambio universal $t=tg\frac{x}{2}$. Y la segunda tiene una solución muy rápida si sumas y restas 1 en el numerador.

Son truquillos que uno aprende de joven... jeje.

Un saludo

[idontknow]

Re: ¿Cómo se hacen estas integrales?

Madre mía se quedaron a gusto poniéndolas pues. Buff...

Sí que es útil la trigonometría sí... Es que la trigonometría y yo no es uqe estemos muy acostumbrados a trabajar juntos...

Muchas gracias arreldepi.

Por cierto electron, ese cambio de variable llevo mucho tiempo viéndolo pero aún no he logrado utilizarlo bien... ¿son cosas del ángulo mitad? Quiero decir que luego se te van cosas de desarrollar el ángulo mitad? Si es así tendré que aprenderme dichas fórmulas...

[electr0n]

Re: ¿Cómo se hacen estas integrales?

Sí, tiene que ver con el ángulo mitad, pero no hay que desarrollarlo explícitamente.

Cuando tienes una integral del tipo

$\displaystyle\int{R(senx,cosx)dx}$

hay varios cambios posibles, más cómodos, según la función R sea par o impar en seno o coseno. Si no lo es, hay que hacer el cambio universal, pero también sirve para cualquier caso. El cambio consiste en hacer

$\displaystyle t=tg\frac{x}{2}$

Gracias a las propiedades del ángulo mitad, al final puedes hacer las siguientes sustituciones:

$\displaystyle senx=\frac{2t}{1+t^2}$

$\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\displaystyle dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

Con ellas, tienes asegurada la resolución de prácticamente cualquier tipo de función racional en seno y coseno.

Un saludo

[idontknow]

Re: ¿Cómo se hacen estas integrales?

mmm ya veo. Todo será cuestión de acostumbrarse. Gracias Electron