1r ciclo Ayuda con un problema de Sucesiones

[har]

Hola! LLevo un rato intentando resolver el siguiente ejercicio y no lo consigo, a ver si me podeis echar una mano.
Sea b1=raiz cuadrada de 3
bn+1 = raiz cuadrada de bn + 3
a)Comprobar que bn es menor que 3 para cualquier n .
d) Hallar limite cuando n tiende a infinito de bn

Gracias!.

[electr0n]

Re: Ayuda con un problema de Sucesiones

Hola.

Lo que tienes es una raíz cuadrada infinitamente anidada:

$b_1=\sqrt{3}$

$b_2=\sqrt{3+\sqrt{3}}$

$<br /> b_3=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}<br />$

(...)

Si no recuerdo mal, al tomar el límite cuando $n\rightarrow\infty$, tenemos que

$<br /> b_n=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots }}}} \rightarrow N<br />$

la raíz converge a un cierto número N de tal manera que

$N=\sqrt{3+N}$

Al resolver la ecuación de segundo grado, la solución válida es la positiva y tiene el valor

$N=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Como $b_1=\sqrt{3}\simeq 1,73$ y $b_n\rightarrow N\simeq 2,30$, está claro que cualquier término de la sucesión es menor que 3.

Saludos!

[SO3]

Re: Ayuda con un problema de Sucesiones

Si no recuerdo mal, al tomar el límite cuando , tenemos que

la raíz converge a un cierto número N de tal manera que

Esto es cierto obviamente, pero no lo pruebas, luego no vale. El apartado 1 te da una sugerencia valiosa para probar el apartado 2.

Para probar 1),por induccion y teniendo en cuenta que la raiz cuadrada es creciente , se sigue inmediatamente la desigualdad pedida.

Para 2, basta hacer notar que la sucesion esta acotada, por el apartado 1), y que es creciente, basta considerar el conciente entre el termino (n+1)-esimo y el n-esimo y comprobar que es mayor que 1. Probada la existencia de limite, lo que te a dicho electron es correcto .