1r ciclo factor integrante

[MIMOSA]

hola espero me puedan ayudar a resolver esta ecuacion suando el factor inetegrante por fis¡¡¡¡
[FONT=Calibri]V2 dx+(x+v)x dv =0. ya intente sacar la funcion miu en terminods de x o y, pero no sale que hago?[/FONT]

[electr0n]

Re: factor integrante

La ecuación diferencial es:

$dx+(x+y)xdy=0$

o

$v_2dx+(x+y)xdy=0$ con $v_2=constante$

¿Cuál de las dos?

[Salvadiaz]

Re: factor integrante

Cabe la posibilidad de que sea ${v}^{2 }\text{dx}$ $+$ $(x+v)x \text{d}v$ ???

[Salvadiaz]

Re: factor integrante

Hola. Pasando por aqui recorde este post. Hace tiempo que aprobe todo lo de ecuaciones diferenciales y no recuerdo muy bien como se hace, yo por factor integrante no la he conseguido resolver. He integrado cada miembro y he igualado a una constante de integracion.

${y}^{2 }dx+(x+y)xdy = 0$ $\Rightarrow$ $\int{y}^{2 }dx$$+\int(x+y)xdy$ = $C$ $\Rightarrow$ $x{y}^{2 }+{x}^{2 }y+\frac{x{y}^{2 } }{2 }$ =$C$ $\Rightarrow$ $\frac{xy(2x+3y)}{2 }$ = $C$

Me ha parecido demasiado sencillo, por eso dudo del resultado. Por favor que alguien corrija si no es correcto. Ahora que lo recuerdo , no es asi puesto que no es de variables separables.

Saludos!

[GNzcuber]

Re: factor integrante

Hola Salvadiaz,

La respuesta no creo que sea correcta, ya que integras respecto $\dst y$ cuando tienes $\dst x$ que por supuesto también varían.

Lo más cercano que puedo dejarla sería:

$$\dst y^2{d}x+(x+y)x{d}y=0\rightarrow \int \frac{{d}x}{x}=-\int\frac{x+y}{y^2}{d}y$$

Y aún así necesitaría pasar al primer miembro esa $\dst x$ del denominador del segundo miembro.

¡Saludos!

[Bertu]

Re: factor integrante

Siento deciros que ninguna de las respuestas es correcta, ni es exacta, ni de variables separables. Si fuera de variables separables no podrían aparecer productos cruzados, y las exactas cumplen otras condiciones. Esa ecuación diferencial es una EDO homogénea. Y se resuelve de la siguiente forma:

Primero se separa el $\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} }$ y quedaría algo de este estilo:

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} } =- \frac{{y}^{2 } }{(x+y)x }$

Ahora realizamos los siguientes cambios de variables:

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} } = \frac{\mathrm{du} }{\mathrm{dx} }x + u$

$u= \frac{y}{x }$

Para realizar el cambio hay que dividir todo por ${x}^{2 }$ de manera que se pueda sustituir por $u$.

Y quedaría algo de esta forma:

$\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{dx} }x + u = - \frac{u}{ u+1}$

despejando:

$\frac{1}{x }dx = -\frac{1+u}{{u}^{2 } +2u }du$

Y esto si que se puede integrar y da esto:

$ln(x)= -\frac{1}{2 } ln({u}^{2 } + 2u) +C$

Y por último, simplificando y volviendo a la variable original:

$x= \frac{1}{\sqrt{\frac{{y}^{ 2} }{{x}^{2 } }+ 2\frac{y}{x } } }$

Si alguien tiene alguna duda, que me pregunte todo lo que quiera