1r ciclo Inquietud Separación de Variables en PDE Con Método de Fourier

[M_Odes]

Buen Día Compañeros
Estaba estudiando PDE Hiperbólicas y Elípticas, y me vino una duda respecto al Método de separación de Variables de Fourier, (el que consiste en suponer que una función digamos $\Phi (r,\theta,z)$ puede expresarse como el producto de funciones independientes de cada variable: $\Phi (r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)$).
Ahora bien mi inquietud es si éste método es aplicable tanto a PDE Homogéneas y No Homogéneas, tengo la sensación que lei que solo es aplicable a PDE homogéneas, de ser así... bueno no veo una razón para esta exclusión, ¿alguien podría explicarme o sugerirme una lectura?
Muchas Gracias

[polonio]

Re: Inquietud Separación de Variables en PDE Con Método de Fourier

Si la PDE es no homogénea, haz un cambio de variables: cambia $\Phi$ por una combinación lineal de dos funciones de forma que resulten dos problemas homogéneos.

Puedes leer, por ejemplo, de texto "Ecuaciones en derivadas parciales" de Habermann, publicado en Prentice Hall.

[M_Odes]

Re: Inquietud Separación de Variables en PDE Con Método de Fourier

Creo que conozco el método, consiste en reducir el problema más complejo en la resolución de un conjunto de problemas más sencillos, podría por ejemplo poner la ecuación diferencial homogenea con condiciones de contorno no homgeneas, y la ecuación in homogenea con condiciones de contorno homogeneas, es ese tipo de resolución a la que haces referencia?

es decir, supón:

$u_{tt}(x,t)=\alpha^{2}u_{xx}(x,t)+f(x,y)$

$u(x,0)=\phi_{1}(x)$ ; $u_{t}(x,0)=\psi_{1}(x)$

$u(0,t)=\phi_{2}(x)$ ; $u(l,t)=\psi_{2}(x)$

lo divida en el problema:


$(a) \quad u^{i}_{tt}(x,t)=\alpha^{2}u^{i}_{xx}(x,t)$ para $i=1,2$

$(b) \quad u^{3}_{tt}(x,t)=\alpha^{2}u^{3}_{xx}(x,t) +f(x,y)$

con las condiciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde la solución al problema inicial para u será
$u(x,t)=u^{1}(x,t)+u^{2}(x,t) +u^{3}(x,t)$

pero mi inquietud es si al problema (b) con las condiciones (4) puedo aplicarle el método de separación de variables para resolverlo.
Muchas Gracias

[polonio]

Re: Inquietud Separación de Variables en PDE Con Método de Fourier

Pues en principio, el método de separación de variables, sí puedes usarlo en una ec. no homogénea... otra cosa es que te salga un problema fácil de resolver.

De todas formas no es éste el cambio de variables que propongo.

Para una ec. de la forma:

$u_{tt}(x,t)=\alpha^{2}u_{xx}(x,t)+f(x,t)$,

el cambio es

$u(x,t)=v(x,t)+g(x)h(t)$

De forma que tengamos:

$v_{tt}(x,t)=\alpha^{2}v_{xx}(x,t)$

por una parte y

$g(x)h''(t)=\alpha^{2}(g''(x)h(t))+g(x)h(t)$

por otra. Esta última es fácil resolverla si las derivadas segundas de $g$ o $h$ son proporcionales a $g$ o $h$ (por ejemplo, si son exponenciales o senos o cosenos), pues aparece una ec. dieferencial ordinaria. Si no, se complica la cosa.

Y, luego, no alvides aplicar los cambios a las condiciones de contorno.