1r ciclo Método separación de variables. Los coeficientes An y Bn.

[lailola]

Hola, estoy haciendo un problema y necesito que me echéis una mano.

Veamos, tengo que encontrar la solución del problema de la cuerda finita de longitud L con las siguientes condiciones (dos casos):

C.Contorno:
u(0,t)=0
u(L,t)=0

a) C. Iniciales:

$u(x,0)=Asen(\frac{\pi x}{L})=f(x)$

$v(x,0)=A\frac{\pi}{L}sen(\frac{\pi x}{L})=g(x)$

b) C. Iniciales:

$u(x,0)=Asen(\frac{\pi x}{L})=f(x)$

$v(x,0)=A\frac{\pi}{2L}sen(\frac{\pi x}{2L})=\overline{g}(x)$


La solución por D'Alembert es $u(x,t)=F_1(x+t)+F_2(x-t)$

Pues bien, para $x+t,~x-t$ en [0,L] me sale:

a)$u(x,t)=A~sen(\frac{\pi x}{L})[cos(\frac{\pi t}{L})+sen(\frac{\pi t}{L})]$

b)$u(x,t)=A~[sen(\frac{\pi x}{L})cos(\frac{\pi t}{L})+sen(\frac{\pi x}{2L})sen(\frac{\pi t}{2L})]$

(La segunda no se cómo ponerla bonita)

Pregunta: Sea z una variable muda. Además de hacer esto, ¿tengo que calcular$F_1(z)$ y $F_2(z)$ para z entre L y 2L , z<-L, etc etc, o no?

(Si alguien se aburre o simplemente le apetece hacerlo y cree que me equivoqué, agradecería que me avisara!)


El verdadero problema viene ahora, porque tengo que calcularlo por el método de separación de variables. En este método la solución vendrá dada así:

$u(x.t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[A_nsen(\frac{n\pi t}{L})+B_ncos(\frac{n\pi t}{L})]sen(\frac{n\pi x}{L})$

A_n y B_n vienen dados por:

$A_n=\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{L}\ g(x) sen(\frac{n\pi x}{L})\, dx$

$B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\ f(x) sen(\frac{n\pi x}{L})\, dx$

Bueno, pues para empezar, no se cómo hacer la integral que sale al sustituir g(x) y f(x) porque dentro de uno de los senos aparece una n.

Además, no entiendo cómo voy a obtener la misma solución que por el otro método si aquí aparecen enes, ¿qué es la n?¿y qué hago con ella?

Salud!

[maxwell]

Re: Método separación de variables. Los coeficientes An y Bn.

holaaa que tal!!!

Buenooo para calcular An y los Bn tenes que utilizar la condicion de ortogonalidad de las funciones oscilatorias, es decir, entre senos y cosenos. Si te fijas bien las integrales de An y Bn tienen senos, ademas sabes cuantos vale g(x) y f(x) por las condiciones de contorno, sustituyes y como ya dije una vez, por las condiciones de ortogonalidad podes resolver la integral!!!!

en la integral tenes que que colocar n=1, para que se cumpla la condicion de ortogonalidad, porque para n distinto de 1 esa integral se hace cero!!! con eso podes resolver la integral!!!

[lailola]

Re: Método separación de variables. Los coeficientes An y Bn.

GRacias!! Pero, una cosa. Para usar lo de las relaciones de ortogonalidad (eso de que n=1 para que no sea 0) el intervalo tiene que ser simétrico, no? Aquí tengo la integral entre 0 y L

[Aradan]

Re: Método separación de variables. Los coeficientes An y Bn.

Hola, mira, tienes un coeficiente An, entonces, al integrar esa n es como una constante, porque al final, cuando termines de integrar, te quedará

An = (algo que depende de n)

Como debería ser, porque la final la solución es una suma infinita de estas An (que son diferentes si te das cuenta)

La condición de ortogonalidad ya se utilizó (eso se hace multiplicando la sumatoria por un sen que no dpeende de n, sino de un m, o un natural diferente; esto sale en la mayoría d elos libros) al momento de dejar $\dst A_n=\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{L}\ g(x) sen(\frac{n\pi x}{L})\, d$

Además, el f(x) que te dan es un seno, entonces, pudes usar la ortogonalidad. La integral puedes resoverla integrando por partes si no me equivoco.
Para algunos n te va a dar cero, entonces, en la sumatoria, que es la solución, solo quedarán algunos valores (los que no sean cero)
Respecto a lo del intervalo de integración, está bien, porque en ese rango se cumple la ortogonalidad, similar es si tomas de -L/2 a L/2, o de L a 2L

Saludos :P