1r ciclo D'Alembert y Separación de Variables

[lailola]

Hola, ya pregunté en otro post sobre este ejercicio, pero ahora tengo otro problema. Vuelvo a poner el enunciado:

Tengo que encontrar la solución del problema de la cuerda finita de longitud L con las siguientes condiciones (dos casos):

C.Contorno:
u(0,t)=0
u(L,t)=0

a) C. Iniciales:

$u(x,0)=Asen(\frac{\pi x}{L})=f(x)$

$v(x,0)=A\frac{\pi}{L}sen(\frac{\pi x}{L})=g(x)$

b) C. Iniciales:

$u(x,0)=Asen(\frac{\pi x}{L})=f(x)$

$v(x,0)=A\frac{\pi}{2L}sen(\frac{\pi x}{2L})=\overline{g}(x)$


La solución por D'Alembert es $u(x,t)=F_1(x+t)+F_2(x-t)$

Pues bien, para $x+t,~x-t$ en [0,L] me sale:

a)$u(x,t)=A~sen(\frac{\pi x}{L})[cos(\frac{\pi t}{L})+sen(\frac{\pi t}{L})]$

b)$u(x,t)=A~[sen(\frac{\pi x}{L})cos(\frac{\pi t}{L})+sen(\frac{\pi x}{2L})sen(\frac{\pi t}{2L})]$

(La segunda no se cómo ponerla bonita)
[FONT=Verdana]
Pregunta:[/FONT] Sea z una variable muda. Además de hacer esto, ¿tengo que calcular$F_1(z)$ y $F_2(z)$ para z entre L y 2L , z<-L, etc etc, o no?

(Si alguien se aburre o simplemente le apetece hacerlo y cree que me equivoqué, agradecería que me avisara!)


El verdadero problema viene ahora, porque tengo que calcularlo por el método de separación de variables. En este método la solución vendrá dada así:

$u(x.t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[A_nsen(\frac{n\pi t}{L})+B_ncos(\frac{n\pi t}{L})]sen(\frac{n\pi x}{L})$

A_n y B_n vienen dados por:

$A_n=\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{L}\ g(x) sen(\frac{n\pi x}{L})\, dx$

$B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\ f(x) sen(\frac{n\pi x}{L})\, dx$

Pues bien, en el primer caso no tego problema para calcular An y Bn, ya que a la hora de hacer las integrales, n tiene que tomar el valor 1 para que no sean nulas.

Pero en el segundo caso tengo problemas con el coeficiente An,tengo que hacer esta integral:

$A_n=\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{L}\ sen(\frac{x\pi}{2L}) sen(\frac{n\pi x}{L})\, dx$

He resuelto esta integral por partes, pero me aparece la n dividiendo.

La solución por éste método me debe coincidir con la de D'Alembert, pero no se cómo va a coincidir si en ésta última me aparece la n.

¿Qué tengo que hacer?

[carroza]

Re: D'Alembert y Separación de Variables

Hola.

Imagino que v(x,0) es la derivada temporal de u(x,t) en t=0.

En este caso, en tu caso b) la expresión de v(x,0) es incompatible con las condiciones de contorno u(L,t)=0.

Saludos