Otras carreras Un modelo de sismógrafo

[Marco Aurelio]

Hola comunidad, queria pedirles una ayuda para resolver el siguiente problema que dice lo siguiente:

Una masa m está sostenida por un resorte vertical y un amortiguador (con resistencia proporcional a la velocidad de la masa vibrante), ambos unidos a una base colocada firmemente al suelo. Una aguja entinada, fija a la masa m, marca un cilindro rotatorio. La masa m de 4 kg colocada encima del resorte lo comprime 10/3 m, y la constante de amortiguamieno es k= 8 Ns/m. De pronto, a los [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] segundos, un sismo hace vibrar verticalmente la base con una fuerza equivalente a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que se transmite a la masa m y ésta lo marca en el tambor giratorio. Considerando g= 10m/s^2, determine:

a)posición y(t) y velocidad v(t) de la masa para cualquier instante t (mientras dur el sismo)
b)Amplitud del desplzamiento de la masa para t arbitrariamente grande.

Este es el problema muchachos, si pudiesen ayudarme con cualquiera de estas estaría muy agradecido, de antemano muchas gracias y espero alguna respuesta.

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

Me gustaria saber muchachos si al menos lo que planteo esta bien o no, para hallar la posición de la masa para cualquier instante t debemos establecer que la sumatoria de fuerzas externas es igual a la masa por la aceleación equivalente ( 2da ley de Newton ), es decir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

viendo la guía esta considera una función de salto (o escalón) en el miembro derecho de esta ecuacion alguien podria explicarme si voy bien o que me faltaria considerar de antemano gracias.

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

Se ve bien. ¿Supongo que vas a considerar el transitorio? $\boxed{y''_ {(t)} + 2y'_{(t)} + 3y_{(t)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 0\,, &\,\, t<\frac \pi {\sqrt 2} \\<br /> 4 \, \mathrm {sen} \, \left( {t\sqrt 2 } \right)\,, & \,\,t \ge \frac \pi {\sqrt 2} \\<br /> \end{aligned}\right . }$

Saludos,

Al

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

Se ve bien. ¿Supongo que vas a considerar el transitorio? $\boxed{y''_ {(t)} + 2y'_{(t)} + 3y_{(t)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 0\,, &\,\, t<\frac \pi {\sqrt 2} \\<br /> 4 \, \mathrm {sen} \, \left( {t\sqrt 2 } \right)\,, & \,\,t \ge \frac \pi {\sqrt 2} \\<br /> \end{aligned}\right . }$

Saludos,

Al

Ohh muchas gracias Al, entonces esa es la función de salto? porque claro en la guía me aparece [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y por qué para el tiempo menor que me dan la ecuación es cero? de antemano muchas gracias.

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

Si no tomas en consideración el momento inicial estarías resolviendo la ecuación para la condición estacionaria donde la fuerza f(t) ha estado aplicada siempre. El hecho de que la fuerza se aplique en un instante dado te va a producir un efecto transitorio (tendrá la forma de un una exponencial decreciente) que se superpone a la curva senoidal. Ya en la parte b) de la pregunta habría que considerar que ha pasado suficiente tiempo como para que el efecto transitorio se haya disipado.

Saludos,

Al

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

Muchas gracias amigo, creo que entendí a cabalidad lo que me dices ahora me gustaria saber si esta bie lo que hice bueno calcule la posicion y esta sería :
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , bueno las constantes las puedo hallar con las condicones iniciales, pero esta seria la ecuacion para un tiempo mayor que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y para el tiempo menor seria esta solamente la ecuacion e la posicion
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
eso estaria correcto amigo? de antemao gracias

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

El resultado que obtuviste satisface la ecuación diferencial y aún así no me convenció. Es decir, calculé las constantes imponiendo la condición y(t_0) = 0, v(t_0) = 0 y obtuve una bonita ecuación que no hace ningún aspaviento al iniciar el movimiento. Yo esperaba ver algún pico que se atenúa rápidamente pero eso no ocurre sino que la curva aumenta progresivamente hasta el valor estacionario pero sumamente rápido, como si fuese el resultado de un amortiguamiento muy alto. Entonces traté de obtener la solución y obtuve una bonita y larga expresión que incluye la función escalón y se comporta como yo esperaba (con un bonito pico al principio que se atenúa en un par de ciclos) pero que no satisface la ecuación diferencial Probablemente habré metido la pata en algún punto... pero es que mis transformadas de Laplace están bastante oxidadas. De modo que por lo pronto no puedo confirmar tus resultados.

Ojalá un compañero del foro con mejores habilidades matemáticas se anime a buscar la solución.

Saludos,

Al

PD. Finalmente conseguí mi error y mi resultado coincide 100% con el tuyo. Ese comentario que pusiste al final me imagino que fue un lapsus... para $t < \pi /\sqrt 2$ la posición vale cero.

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

hola, gracias por responder la verdad es que claro tengo que llegar a esa expresion mediante la transforada de Laplace pero yo lo obtuve rapidamente por el metodo de resolver la ecuacion homogenea y luego sumarle la solucion de la ecuacion particuar con el metodo de coeficientes indeterminados, mi duda es que esa funcion de escalon se obtiene porque para un tiempo menor que ese la posicion vale 0 mientras que pra un tiempo mayor vale 4sen blah blah... por lo tanto para aplicar la transformada que es lo que tengo que hacer?, es lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego me dice aplica lainversa de Laplace para hallar la posicion, quedando finalmente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De ahi me dice que para sacar la aplitud debo obteer el moulo dela posicion y tenderlo al infinito, me podrias ayudar porfavor? de antemano gracias.

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

Hombre, si ya mataste el tigre ¡no le irás a huir al cuero! Para la velocidad simplemente deriva. Para la amplitud pasado un largo tiempo, simplemente observa que exp -(t -algo) --> 0 cuando t --> infinito y para ver cual es la amplitud y fase del movimiento mezcla de la función seno y coseno [usa A sen wt - B cos wt = C sen (wt-D)].

Por cierto creo que tienes un error en el coeficiente de la función seno, si no recuerdo mal es exp algo mas 1.

Saludos,

Al

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

haha lo siento amigo , solo me qedauna ultimaduda y no molesto mas si??, mira una vez que aplico la transformadde Laplace hay una sola cosa que no calza que es la siguiente mira :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero en la maldita guia me aparece:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que tengo malo amigo? esta sera ya la unica consulta que te hare y no te molestare por un laaaargo tiempo haha saludos y gracias por tu tiempo.

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

No te puedo dar una respuesta pronta porque es el mismo error que estaba cometiendo yo. Lo que te puedo decir es que mi computador coincide con tu guía Y se que tiene que ver con convertir la expresión $\dst \, \mathrm {sen} \, (\sqrt 2 \,t)$ en $-\, \mathrm {sen} \, \left[\sqrt 2 (t - \pi/\sqrt 2 )\right]$ para transformar el escalón. Yo no seguí buscando donde estaba mi error porque lo resolví dándole la transformada al computador (y la inversa tambien ) para comprobar si tu solución era la correcta.

Espero que alguien mas ayude porque yo tendría que ver que es lo que yo estaba haciendo mal si pretendo corregirte a tí

Saludos,

Al

PD. No es molestia, es divertido recordar viejos tiempos

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

OK, amigo, te tengo una respuesta. Probablemente habrás determinado mal la transformada de la función seno-escalón, igual que me pasaba a mi. Hay que llevar

$$\mathrm {sen} \left(\sqrt 2 \,t\right)\, \, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)$$

a la forma equivalente

$$-\, \mathrm {sen} \left[\sqrt 2 \left(t - \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right]\, \, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)$$

haciendo uso de la propiedad

$$\mathrm {sen} \,(x - \pi ) = - \, \mathrm {sen} \, x$$

Entonces

$$\begin {aligned}\mathcal L \left \{ \mathrm {sen} \left(\sqrt 2 \,t\right)\, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)\right \} &= \mathcal L \left\{-\, \mathrm {sen} \left[\sqrt 2 \left(t - \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right]\, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right \} \\ \\ &= - \ee^{\dst - \frac \pi {\sqrt 2}s} \, \frac {\sqrt 2 }{s^2+2}\\ \end {aligned}$$

El resto, la transformada de las derivadas está bien y ya lo que restaría es despejar la función tansformada y aplicar la transformación inversa.

Saludos,

Al

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

OK, amigo, te tengo una respuesta. Probablemente habrás determinado mal la transformada de la función seno-escalón, igual que me pasaba a mi. Hay que llevar

$$\mathrm {sen} \left(\sqrt 2 \,t\right)\, \, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)$$

a la forma equivalente

$$-\, \mathrm {sen} \left[\sqrt 2 \left(t - \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right]\, \, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)$$

haciendo uso de la propiedad

$$\mathrm {sen} \,(x - \pi ) = - \, \mathrm {sen} \, x$$

Entonces

$$\begin {aligned}\mathcal L \left \{ \mathrm {sen} \left(\sqrt 2 \,t\right)\, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right)\right \} &= \mathcal L \left\{-\, \mathrm {sen} \left[\sqrt 2 \left(t - \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right]\, \mathrm {u} \left(t- \frac \pi {\sqrt 2}\right) \right \} \\ \\ &= - \ee^{\dst - \frac \pi {\sqrt 2}s} \, \frac {\sqrt 2 }{s^2+2}\\ \end {aligned}$$

El resto, la transformada de las derivadas está bien y ya lo que restaría es despejar la función tansformada y aplicar la transformación inversa.

Saludos,

Al

Ohhh de veras muchas gracias amigo por tu tiempo y dedicacion ya tengo resuelto esa parte, ya como para terminar el tema ¿es posible darle una aplicacion practica en la vida cotidiana a este problema, me refiero por ejemplo en un barco, en una expedicion al fondo del mar? tienes conocimiento de algunas de ellas? reitero mis gracias nuevamente y espero vernos pronto

[Al2000]

Re: Un modelo de sismógrafo

Ni idea de si niene alguna aplicación directa, pero no me cabe la menor duda de que este tipo de ejercicio ayuda a desarrollar las destrezas básicas necesarias para afrontar algún problema "real".

Saludos,

Al

[Marco Aurelio]

Re: Un modelo de sismógrafo

Hola nuevamente amigo, te agradezco por toda tu ayuda ya tengo listo gran parte de esta tarea lo unico que me resta y que no he podido sacar es la amplitud como el modulo de la posicion de la masa vibrante, lo deje de la forma en que me decias pero no puedo despejarla... la posicion esta dada por:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero sabes que no puedo calcular la amplitud .. ojala puedas ayudarme nuevamente.