1r ciclo Ecuación diferencial de primer orden.

[arreldepi]

Hola, llevo un rato peleándome con esta ecuación diferencial y no veo cómo resolverla, me parece que no es lineal y tampoco veo algún cambio posible, a ver si alguien puede echarme una mano.

$$(y^3-x)y'=y$$

Gracias!

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Hola, llevo un rato peleándome con esta ecuación diferencial y no veo cómo resolverla, me parece que no es lineal y tampoco veo algún cambio posible, a ver si alguien puede echarme una mano.

$$(y^3-x)y'=y$$

Gracias!

Hola, nota que a esa ecuación diferencial la puedes escribir como:

$$\frac{\dd x}{\dd y}+\frac{x}{y}=y^2$$

es decir, una ecuación diferencial de primer orden respecto a la variable $x$.

[arreldepi]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Muchas Gracias!! , le había dado mil vueltas pero nunca había llegado a verla. Pongo la solución entera:

1. La homogénea:

$$x'(y)+\frac{x}{y}=0 \qquad\Rightarrow\qquad x' = -\frac xy$$

Integrando

$$\log|x|=-\log|y|+\log K(x) \quad\to\quad x = \frac{k(x)}{y}$$

Ahora, para resolver la lineal completa, se aplica el método de variación de constantes:

$$x'(y) + \frac xy = y^2$$

$$\frac{k'(x)}{y}-\frac{k(x)}{y^2} + \frac{k(x)}{y^2} = y^2$$

Queda que

$$k'(x) = y^3 \qquad\to\qquad k(x) = \frac{y^4}{4}+C$$

Así que la solución es

$$x=\frac{k(x)}{y} \quad\to\quad \boxed{4xy = y^4 + k}$$

Gracias!

[Al2000]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Una alternativa, solo por jugar un rato con los números...

$$\left(y^3-x\right)\, \frac {dy}{dx} = y$$

$$y^3\,dy - x\,dy = y\,dx$$

$$y^3\,dy = y\,dx + x\,dy$$

$$\frac 1 4 d(y^4) = d(xy)$$

$$\boxed {y^4 = 4 x y + C}$$

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Hola!

He visto algunas veces el paso de hacer $d(f(x))$ pero nunca he entendido demasiado bien cómo funciona, podrías explicarme cómo pasas de la tercera a la cuarta expresión? Supongo que el miembro de la derecha lo integras pero no veo qué haces con el otro.

Gracias!!

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Hola!

He visto algunas veces el paso de hacer $d(f(x))$ pero nunca he entendido demasiado bien cómo funciona, podrías explicarme cómo pasas de la tercera a la cuarta expresión? Supongo que el miembro de la derecha lo integras pero no veo qué haces con el otro.

Gracias!!

Es lo que se llama tener "buen ojo", en el de la parte izquierda es mas evidente, fíjate que $y^3\dd y=\dfrac{1}{4}\dd(y^3)$, es decir es el resultado de ese diferencial. Para el miembro de la derecha, recuerda que $(uv)'=u'v+uv'$, y la expresión tiene esa forma, entonces eso hace pensar que es la diferencial de un producto de funciones, en este caso $\dd(xy)$

[arreldepi]

Re: Ecuación diferencial de primer orden.

Para rizar más el rizo xD ,

$$(y^3-x)\dd y -y\dd x = 0$$

Es una ec. diferencial exacta:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^3-x) = -1 = \frac{\partial}{\partial y}(-y)$$

Así que se puede definir una función $\Phi$ tal que

$$\dd\Phi(x,y)= M\dd x + N\dd y = \frac{\partial\Phi}{\partial x}\dd x + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\dd y\equiv 0$$

Así que

$$\Phi = \int M\dd x = \int y\dd x = yx + k(y)$$

$$N = \frac{\partial\Phi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}[yx+k(y)] \qquad \to\qquad y^3-x = yx + k'(y)$$

Así que

$$k(y) = \frac{y^4}{4}\qquad\to\qquad \boxed{\Phi =4xy - y^4 + C\equiv 0}$$

Saludos!