Otras carreras Aproximar solucion de Ecuacion Diferencial.

[Salvadiaz]

Buenas, tengo un problema con una ecuacion diferencial que no se muy bien como resolver. Dice asi:

Sea el problema de valor inicial

${y}^{' }(x)$ = $\frac{y(x)(x - y(x))}{{x}^{2 } }$


$y(1) = 2$

Utilizar el metodo de Runge-Kutta de orden 4 con paso $h = \frac{1}{128 }$ para aproximar el valor de $y(1 + \frac{2}{128 } )$, usando aritmetica de 6 digitos (nada mas??) redondeados. Sabiendo que la solucion exacta es

$y(x)$ = $x{(0'5 + \text{Ln(x)})}^{-1 }$

comprobar cuantos decimales correctos tiene la aproximacion obtenida y estudiar el orden de convergencia del metodo.


Empiezo a resolverlo y hago la primera iteracion, pero no se cuantas iteraciones he de dar para aproximar 1 + 2/128, ni que valor inicial ${x}_{ 0}$, lo tengo hecho con ${x}_{ 0}$=$\frac{129}{ 128}$ y asi dar un par de iteraciones... . Con dichas iteraciones, obtengo la solucion siguiente: ${\omega }_{2 }$ = $\text{1'985861}$, es correcto?


PD: no puede estar bien, pues no tiene 6 digitos significativos. He cogido como inicio ${x}_{ 0}$ = $\frac{128}{128 }$ = $1$, y ${\omega }_{ 0}$ = $2$, asi creo que hare 3 iteraciones, pero obtendre una mejor aproximacion, colgare la solucion si lo consigo resolver.


Gracias de antemano.

Un saludo,

Salva

[Salvadiaz]

Re: Aproximar solucion de Ecuacion Diferencial.

1ªITERACI´´ON. ${x}_{0 }$ = $1$ ${\omega }_{0 }$ = $2$

${k}_{ 1}$ = $hf({x}_{0 },{\omega }_{0 })$ = $-0'015624$

${k}_{ 2}$ = $hf({x}_{0 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{0 }+\frac{{k}_{ 1} }{2 } )$ = $-0'015265$


${k}_{ 3}$ = $hf({x}_{0 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{0 }+\frac{{k}_{ 2} }{2 } )$ = $-0'015265$


${k}_{ 4}$ = $hf({x}_{0 }+h,{\omega }_{0 }+{k}_{3} )$ = $-0'014913$

${\omega }_{ 1}$ = ${\omega }_{ 0} +\frac{1}{ 6}({k}_{1 }+2{k}_{2 }+2{k}_{3 }+{k}_{4 } )$ = $1'984734$

2ª ITERACION. con, x_1 y omega_1.

${k}_{ 1}$ = $hf({x}_{1 },{\omega }_{1 })$ = $-0'013897$

${k}_{ 2}$ = $hf({x}_{1 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{1 }+\frac{{k}_{ 1} }{2 } )$ = $-0'014582$

${k}_{ 3}$ = $hf({x}_{1 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{1 }+\frac{{k}_{ 2} }{2 } )$ = $-0'014575$

${k}_{ 4}$ = $hf({x}_{1 }+h,{\omega }_{1 }+{k}_{3} )$ = $-0'014244$

${\omega }_{ 2}$ = ${\omega }_{ 1} +\frac{1}{ 6}({k}_{1 }+2{k}_{2 }+2{k}_{3 }+{k}_{4 } )$ = $2'064949$

3ªITERACION. Con los datos de la 2ª iteracion.


${k}_{ 1}$ = $hf({x}_{2 },{\omega }_{2 })$ = $-0'016410$

${k}_{ 2}$ = $hf({x}_{2 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{2 }+\frac{{k}_{ 1} }{2 } )$ = $-0'016033$

${k}_{ 3}$ = $hf({x}_{2 }+\frac{h}{2 } ,{\omega }_{2 }+\frac{{k}_{ 2} }{2 } )$ = $-0'016037$

${k}_{ 4}$ = $hf({x}_{2 }+h,{\omega }_{2 }+{k}_{3} )$ = $-0'015671$

${\omega }_{ 3}$ = ${\omega }_{ 2} +\frac{1}{ 6}({k}_{1 }+2{k}_{2 }+2{k}_{3 }+{k}_{4 } )$ = $2'04892$

Y ese seria el valor aproximado de Y en 1. Pero no se como averiguar cuantos digitos significativos tiene .

[Salvadiaz]

Re: Aproximar solucion de Ecuacion Diferencial.

Corrijo, la solucion no es correcta, pero mas o menos era asi.

Se escoge x_0 = 1 y w_0=2, y a partir de ahi se hacen 2 iteraciones, suficientes para llegar a 1+2/128.

x_0 ----x_1---- x_2

donde x_1 = x_0 +h y x_2= x_0 +2h = 1 + 2/128

Saludos,

Salva