Otras carreras problema de dimensiones

[maria123]

hola, me dan la siguiente ecuacion: x=AcosBt, y me dicen que x y t son las dimensiones de tiempo y posicion. Me piden saber, cuales son las de A y B para que se cumpla esa ecuacion.

gracias

[Cara cruzada]

Re: problema de dimensiones

No has concretado demasiado en qué ecuación es esa, pero tiene toda la pinta de movimiento armónico simple en una determinada posición. En ese caso, A sería la amplitud y B sería la velocidad angular...

[maria123]

Re: problema de dimensiones

no es ninguna ecuacion de movimiento armonico, mi ecuacion la puedo poner de la siguiente manera:L=AcosBT,sabiendo que L y T son las dimensiones de tiempo y posicion,entonces;

A puede ser, a)$L^2/T^2$,b)$L/T$,c)$L$,d)sin dimension

B puede ser a)$1/T$ b)$L/T$ c)$L$ d) sin dimension

necesito que me digais la respuesta de esas posibilidades que he sacado...

gracias

[Cara cruzada]

Re: problema de dimensiones

En ese caso, si B=1/T entonces te quedaría un coseno adimensional. Asumiendo que A=L, entonces las dos magnitudes quedarían dimensionalmente igualadas...

[Bertu]

Re: problema de dimensiones

Lo del coseno de 1 me desconcierta, querrás decir que queda de manera adimensional, ¿no?

[Cara cruzada]

Re: problema de dimensiones

Si B tiene dimensión 1/T, entonces cos BT queda adimensional, efectivamente, me había explicado mal. I'm sorry.

[GNzcuber]

Re: problema de dimensiones

Hola Cara cruzada,

No sé si no te das cuenta del error o sólo lo omites porque quieres concentrarte en el problema de las dimensiones. Pero en ningún caso $\dst \cos(1)=1$, y con "en ningún caso" hago referencia en ningúna escala angular. Lo que sí es uno es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

maria123, deberías intentar esforzarte un poco más en esta clase de ejercicios, no son complicados. Teniendo $\dst x=A\cdot\cos(Bt)$ y sabiendo que $\dst [x]=L$ y $\dst [t]=T$, donde [a] indica la dimensión de "a" y, "L" y "T" unidades de longitud y tiempo respectivamente, sólo debes pensar que tienes una igualdad y por lo tanto las dimensiones de ambos deben coincidir.

Las funciones trigonométricas, como exponenciales, hiperbólicas o logarítmicas no pueden tener unidades en el argumento, de ahí puedes pensar que:

$$\dst [Bt]=[B]\cdot [t]=M^\alpha\cdot L^\beta\cdot T^\gamma\cdot \Theta^\epsilon\cdot J^\phi\cdot I^\rho\cdot N^\delta\cdot T=0$$

Donde $\dst \Theta$ es la dimensión de la temperatura, J es la dimensión de la intensidad de corriente, I la dimensión de la intensidad luminosa, N la dimensión de la cantidad de sustancia y M la dimensión de la masa, tanto L como T ya las he mencionado. De éstas siete magnitudes físicas derivan todas las otras, y por lo tanto cualquier dimensión es el producto de una potencia de ellas.

La ecuación la igualo a cero porque el argumento no tiene dimensiones. Si ahora resolvemos veremos que por ejemplo alfa debe ser cero, ya que no hay otra magnitud de masa para que la suma sea nula, y así con todas excepto el tiempo, que nos queda.

$$\dst T^\gamma\cdot T=0\rightarrow \gamma+1=0\rightarrow \gamma = -1\Rightarrow [B]=T^{-1}$$

.

De la misma manera podrías hallar A, pero ésto, el análisis dimensional, se usa de esta forma en situaciones más complicadas, en la fórmula que nos presentas sólo debes saber que las funciones deben tener sus argumentos adimensionales, luego es inmediato pensar que A tiene la misma magnitud que x.

¡Saludos!

[Cara cruzada]

Re: problema de dimensiones

He vuelto a ver lo que he escrito y me he dado cuenta de lo mal que me he expresado. Efectivamente, quería decir que cos BT debe quedar adimensional y por ello la unica solución posible es que B=1/T. Siento haberlo explicado tan mal, pero la verdad es que no estaba pensando en trigonometría cuando lo he hecho
Gracias por hacerme notar el problema, ahora lo edito...