1r ciclo Ecuación diferencial de primer grado

[IvaanOne]

Necesito encontrar la familia de soluciones para la siguiente ecuación y no se por donde cogerla:

$$(2y+1) \dd x = \frac{x^2-y}{x} \dd y$$

Si me pudieran echar un cable... se lo agradecería mucho.

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Hola, yo la haría así:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> (2y+1) \dd x &= \frac{x^2-y}{x} \dd y\\<br /> \underbrace{(2y+1)}_{M}\dd x+\underbrace{\frac{y-x^2}{x}}_{N}\dd y&=0\\<br /> \end{aligned}<br />$$

como puedes ver tiene la forma de una ecuación diferencial exacta , pero no es exacta ($\dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}$), tienes que encontrar el factor integrante, imagino que el método lo conoces ...

[IvaanOne]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Es una forma, pero existe un cambio de variable que te permite solucionar la ecuación... He probado $u = \frac{y}{x}$ y $u = xy$ pero nada...

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Es una forma, pero existe un cambio de variable que te permite solucionar la ecuación... He probado $u = \frac{y}{x}$ y $u = xy$ pero nada...

Pues yo a primera vista no encuentro un cambio de variable que ayude, no te compliques encuentra el factor integrante. De todas formas pensaré en algun cambio de variable o quizás a algún otro usuario se le ocurra antes que a mi.

[hellenetxu]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Hola! Para hallar el factor integrante lo primero que tienes que hacer es darte cuenta de que dicho factor sólo depende de la variable y ya que cumple la siguioente condición:

(dN/dx)-(dM/dy)
----------------- única y exclusivamente depende de la variable y; en este caso obtienes lo siguiente:
M

(dN/dx)-(dM/dy)
----------------- = -4/(2y+1).
M

Por lo tanto el factor integrante que obtienes es: -4/(2y+1). Donde M=2xy+x; y N=y-x^2

Multiplicando a la ecuación inicial por dicho factor y derivando después obtienes que ahora la ecuación diferencial sí es exacta.

Espero que te haya servido.

[IvaanOne]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Sinceramente no me ha servido, pero muchas gracias por tu participación y dedicación. Estoy intentando encontrar la forma de solucionar la ecuación sin necesidad de utilizar este método... con un cambio de variable es suficiente. ¿Pero cuál?

En cuanto lo sepa lo escribo.
____

Ya lo tengo, un cambio de variable de este modo:

$$u=y-x^2$$

Si tenemos que la ecuación es:

$$2yx+x=(y-x^2) \frac{\partial y}{\partial x}$$

podemos reescribirla de este modo

$$\frac{2xy}{y-x^2} + \frac{x}{y-x^2} = \frac{\partial y}{\partial x}$$

Aplicamos el cambio de variable: $u=y-x^2$

$$\frac{2xy}{u} + \frac{x}{u} = u'+2x$$

[Debemos tener en cuenta que si $u=y-x^2$, entonces $u'=y'-2x$]

Sustituyendo nos queda,

$$\frac{2x(u+x^2)}{u} + \frac{x}{u} = u+2x$$

simplificando,

$$2x + \frac{1}{u} (2x^3+x) = u+2x$$

Por tanto, obtenemos una ecuación de variables separables:

$$u \frac{\partial u}{\partial x} = 2x^3 + x$$

de solución;

$$y(x)=\sqrt{x^2(x^2+1) + C}+x^2$$

Por favor, corregidme por si me he equivocado.

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

Sinceramente no me ha servido, pero muchas gracias por tu participación y dedicación. Estoy intentando encontrar la forma de solucionar la ecuación sin necesidad de utilizar este método... con un cambio de variable es suficiente. ¿Pero cuál?

En cuanto lo sepa lo escribo.

¿No te estas complicando innecesariamente?

[IvaanOne]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

No, mira que fácil es por variables separables:

(lee el post de arriba)

[[Beto]]

Re: Ecuación diferencial de primer grado

No, mira que fácil es por variables separables:

(lee el post de arriba)

Hola, para comprobar lo hare calculando el factor integrante, para ello toma en cuenta que puedes escribir la ecuación diferencial de la forma $\underbrace{(2xy+x)}_{M}\dd x+\underbrace{(y-x^2)}_{N}\dd y=0$, luego como $\dfrac{1}{M}\left( \dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)=\dfrac{-4}{2y+1}$ el fator integrante se calulará de la siguiente manera $u(y)=\exp\left( \dst\int \dfrac{-4}{2y+1} \right)=\dfrac{1}{(2y+1)^2}$.

Entonces la ecuación diferencial exacta será $\dst \underbrace{\frac{x}{(2y+1)}}_{\mathcal{M}}\dd x+\underbrace{\frac{y-x^2}{(2y+1)^2}}_{\mathcal{N}}\dd y$,

$$\dd U=\mathcal{M}\dd x+\mathcal{N}\dd y=0\Longrightarrow U=C$$

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{\partial U}{\partial x}=\mathcal{M}&\Longrightarrow U=\int \mathcal{M}\dd x+g(y)\\<br /> \frac{\partial U}{\partial y}=\mathcal{N}&\Longrightarrow \frac{\partial}{\partial y}\left( \int \mathcal{M}\dd x+g(y) \right)=\mathcal N<br /> \end{aligned}<br />$$

de donde se tiene $\dst g'(y)=\mathcal{N}-\frac{\partial}{\partial y}\left( \int \mathcal{M}\dd x\right)$ y solamente queda integrar y reemplazar en la primera ecuación.

En el ejercicio se tendría que $\dst g'(y)=\dfrac{y-x^2}{(2y+1)^2}-\frac{\partial}{\partial y}\left( \int\frac{x}{(2y+1)} \dd x\right)=\dfrac{y-x^2}{(2y+1)^2}+\frac{x^2}{{\left( 2y+1\right) }^2}=\frac{y}{(2y+1)^2}$ obteniendose que $g(y)=\dst \frac{\ln\left( 2\,y+1\right) }{4}+\frac{1}{8\,y+4}$ y además tomando en cuenta que $\dst \int \mathcal{M}\dd x=\int\frac{x}{(2y+1)} \dd x=\frac{x^2}{2(2y+1)^2}$, se llega a que:

$$\frac{x^2}{2(2y+1)^2}+\frac{\ln\left( 2\,y+1\right) }{4}+\frac{1}{8\,y+4}=C$$

que difiere de tu respuesta.