Otras carreras Ley de Hooke

[Luke]

Expertos necesito de su ayuda para saber como la ley de Hooke puede ser modelada mediante una ecuación diferencial. Gracias

[Caifan]

Re: Ley de Hooke

La forma que yo conozco de la Ley de Hooke afirma que la fuerza restauradora en un resorte, $F$, es directamente proporcional a la variación en la longitud, $x$; la constante de proporcionalidad es la llamada "constante elástica", $k$, de modo que

$F = - k x$.

Por la 2° Ley de Newton

$F = ma = m \frac{{\mathrm{d}}^{2} x }{{\mathrm{d} t}^{2}}$.

Igualando las expresiones obtenidas por Hooke y por Newton

$m \frac{{\mathrm{d}}^{2} x }{{\mathrm{d} t}^{2}} = - kx$;

haciendo que ambos miembros valgan cero

$m \frac{{\mathrm{d}}^{2} x }{{\mathrm{d} t}^{2}} + kx = 0$,

con lo cual tienes una ecuacion diferencial ordinaria de 2° orden. También podrías incluir en tu análisis el rozamiento con el medio, que podria ser consierado proporcional a la velocidad del resorte, para lo cual

$F = \beta v- kx = \beta \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}t } - kx$,

donde $\beta$ es una constante de proporcionalidad. Luego, mediante Newton, obtenemos del mismo modo

$m \frac{{\mathrm{d}}^{2} x }{{\mathrm{d} t}^{2}} - \beta \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}t } + kx = 0$,

que es una ecuación diferencial ordinaria de 2° orden.