1r ciclo Ecuación de Ondas, Formula de D' Alembert

[mjhelal]

Buenas, necesito su ayuda para resolver un problema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales.

La letra del problema es la siguiente:

a) Mostrar que al resolver la ecuación de ondas para una cuerda infinita con datos iniciales ${x}_{0}$ y ${v}_{0 }$ impares la solución satisface $u(0,t) = 0$ para todo $t \geqslant 0$.

b) Usar el resultado de a) para resolver el problema:

${u}_{tt }(x,t) - {c}^{2 }{u}_{xx }(x,t) = 0$, con $(x,t) \in (0,\infty ) \times (0,\infty )$

Con las condiciones de contorno:

$u(x,0)={u}_{0}(x)$, $x\geqslant 0$
${u}_{t }={v}_{0}(x)$, $x\geqslant 0$
$u(0,t)=0$, $t\in[0,\infty )$

Pude resolver la parte a) utilizando la fórmula de D'Alembert, pero no comprendo bien como resolver la parte b. Este ejercicio figura en mi libro como aplicación de el siguiente teorema:

************************************************************
Teorema: Sean ${u}_{0}:R\to R$ una función de clase ${C}^{2 }$ y ${v}_{0}:R\to R$ una función de clase ${C}^{1 }$. Entonces existe una única solución $u:{R}^{2 }\to R$, de clase ${C}^{2 }$, del problema de valores iniciales para la ecuación de ondas:

${u}_{tt }(x,t) - {c}^{2 }{u}_{xx }(x,t) = 0$, con $(x,t) \in {R}^{2 }$

Con las condiciones de contorno:

$u(x,0)={u}_{0}(x)$, $x \in R$
${u}_{t }={v}_{0}(x)$, $x \in R$

Además la solución u puede calcularse para todo $t \in R$, a partir de los datos iniciales por medio de la formúla de D'Alembert:

$u(x,t) = \frac{1}{2}({u}_{0}(x+ct)+{u}_{0}(x-ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}{v}_{0}(y) \: dy$
************************************************************

Lo que no logro entender es: ¿Como modifica el resultado de la formula el hecho de que cambien las condiciones iniciales?

Cualquier ayuda es bienvenida

Gracias!!

Michel

[SO3]

Re: Ecuación de Ondas, Formula de D' Alembert

Tienes que darte cuenta que el problema del apartado b) no es el problema puro de valores iniciales, si no que se trata de un problema en el que te dan como dato una condicion frontera, es decir, en vez de resolver la ecuacion para el semiplano superior, has de resolverlo para el primer cuadrante.

Ahora bien, usando astutamente la idea del apartado a) deberas transformar tu problema en un problema puro de valores iniciales , cuya solución, restringida al primer cuadrante sea solución del problema con la condicion de contorno. Pero te darás cuenta que hacen falta ciertas condiciones de compatibilidad en el origen para que todo funcione bien.

[mjhelal]

Re: Ecuación de Ondas, Formula de D' Alembert

Bueno creo que entendí por donde viene tu sugerencia.

Puedo transformarlo en un problema de valores iniciales puro utilizando la parte a, puro pues es equivalente a :

${u}_{tt }(x,t) - {c}^{2 }{u}_{xx }(x,t) = 0$, $con (x,t) \in {R}^{2 }$

Con las condiciones de contorno:

$u(x,0)={u}_{0}(x)$,impar, $x \in R$
${u}_{t }={v}_{0}(x)$, impar,$x \in R$

y luego de obtenida la solución, la restrinjo al primer cuadrante.

Disculpá pero mi conocimiento es muy teórico, no hice ningún ejercicio de este tipo antes, ¿Esta bien que yo responda esto , es decir , como los datos son generales no puedo dar ninguna respuesta mas específica que escribir la ecuación de D'Alembert más esto que escribí recien.No?

Muchas Gracias

Michel

[SO3]

Re: Ecuación de Ondas, Formula de D' Alembert

Por el apartado a) sabes que una solución del problema puro de valores iniciales con datos impares ha de anularse en todo el semieje $t$ positivo, es decir, automaticamente satisface $u(0,t)=0$.

En el segundo apartado te piden resolver un problema de contorno para la ecuación de ondas que ha de satisfacer $u(0,t)=0$. Si encuentras un problema de valores iniciales con $u(x,0)=u_0 (x) x\geqslant 0 ,u_t(x,0)=v_0 (x) x\geqslant 0$ y que además los datos son impares, has ganado , pues por a) sabes que la restriccion de dicha solución al primer cuadrante es solucion del problema de contorno.

Ahora bien, para prolongar tus datos iniciales a toda la recta de manera impar, forzosamente ha de ser $u(0,0)=u_0 (0)= 0,u_t(0,0)=v_0 (0)=0$ , pero esta condición ha de satisfacerse para que,no ya el problema de contorno tenga solución, sino para que exista una función continua en el origen que satisfaga el dato inicial y el dato de contorno, puesto que $u(x,0)=u_0 (x)$ y $u(0,t)=0$.

[mjhelal]

Re: Ecuación de Ondas, Formula de D' Alembert

Gracias, ha sido muy útil tu ayuda.

Saludos,

Michel