1r ciclo ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

[IvaanOne]

Buenas tardes. Tengo que solucionar esta ec. diferencial, advierto que estoy muy verde con esto:

$$(9+x^2)\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}^2}-2y=0$$

Pruebo la solución: $\sum_{n = 0}^\infty a_{n}x^n$ debido a que tanto$p(x)$ como $q(x)$ son analíticas en $x_{0}=0$ y, sustituyendo y operando, queda:

$$\sum_{n = 0}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2}-\frac{2}{9+x^2} a_{n}]x^n=0$$

De aquí puedo decir que para que la ec. (2) sea cero: lo de dentro del sumando debe ser cero. Al despejar $a_{n+2}$ me queda en función de $x$ y esto no puede ser correcto teóricamente...

$$a_{n+2}=\frac{2a_n}{(9+x^2)(n+2)(n+1) }$$

¿Cuál es mi error?

[[Beto]]

Re: ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

Hola, yo desarrollaría este ejercicio de la siguiente manera:

Primero calculo las derivadas correspondientes:

$$y''=\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}$$

si reemplazo en la ecuación diferencial:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> (9+x^2)\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}-2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n&=0\\<br /> \sum_{n=2}^\infty 9a_nn(n-1)x^{n-2}+\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^n-\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n&=0\\<br /> \end{aligned}<br />$$

luego acomodando la primera sumatoria haciendo un cambio de índice $m=n-2\Longrightarrow n=m+2$ se obtiene:

$$\sum_{m=0}^\infty 9a_{m+2}(m+2)(m+1)x^m+\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^n-\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n=0$$

y como $m$ es un índice mudo, se puede cambiarlo por $n$ nuevamente, y en todas las sumatorias sacar los términos $n=0,1$, quedando de la siguiente manera:

$$18a_o+27a_1x+\sum_{n=2}^\infty 9a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n+\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^n-2a_o-2a_1x-\sum_{n=2}^\infty 2a_nx^n$$

agrupando términos:

$$16a_o+25a_1+\sum_{n=2}^\infty\{9a_{n+2}(n+2)(n+1)+a_n[n(n-1)-2\}=0$$

obteniendo luego que $a_o=0,a_1=0$ y que:

$$a_{n+2}=\frac{2-n(n-1)}{9(n+2)(n+1)}a_n$$

... lo cual se me hace extraño, ya que todos los coeficientes serían ceros, pero el método para resolver esos ejercicios es ese, seguramente no tome en cuenta algo, o cometí un error tonto ... ¿quién me corrige?

[Al2000]

Re: ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

[Beto] en (4), cuando tomas los dos primeros términos de la primera sumatoria en (3), lo que sale no es $18 a_0 + 27 a_1 x$ sino mas bien $18 a_2 + 54 a_3 x$.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

Gracias, entonces quedaría así:

$$(18a_2-2a_o)+(54a_3-2a_1)x+\sum_{n=2}^\infty\{9a_{n+2}(n+2)(n+1)+a_n[n(n-1)-2\}=0$$

de donde $a_2=\dfrac{a_o}{9}$ y $a_3=\dfrac{a_1}{27}$ y para $n>1$

$$a_{n+2}=\frac{2-n(n-1)}{9(n+2)(n+1)}a_n$$

[carmelo]

Re: ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

Hola:

$$y=\dst\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$

$$y^\prime=\dst\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}$$

$$y^{\prime\prime}=\dst\sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k-2}$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

$$(9+x^2)\dst\sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k-2}-2\dst\sum_{k=0}^\infty a_k x^k=0$$

$$9\dst\sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k-2}+\dst\sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^k-2\dst\sum_{k=0}^\infty a_k x^k=0$$

Teniendo en cuenta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y que

$\dst\sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^k=\dst\sum_{k=0}^\infty k(k-1) a_k x^k$

se tiene

$$\dst\sum_{k=0}^\infty \left[ 9(k+2)(k+1)a_{k+2}+k(k-1)a_k-2a_k \right]x^k=0$$

Por lo tanto:

$$a_{k+2}=\dst\frac{2-k(k-1)}{9(k+2)(k+1)}a_k$$

Saludos
Carmelo

[IvaanOne]

Re: ED Series de potencias: Ecuacion de Airy

Muchísimas gracias, cavilando llegué a a la misma conclusión. Existe otra forma, mucho más complicada, que trata de desarrollar en serie de Taylor alrededor de del punto $x_{0}=0$ la serie: $\frac{-2}{9+x^2}$ y multiplicar las series que resultan en la ec. diferencial (2).

Pero, como ya dije, es mucho más complicado y tampoco se trata de comerse uno el coco con semejante ecuación.

Antes de terminar me gustaría destacar la simplificación del resultado. Se puede expresar el producto $2-n(n-1) = 2-n^2+n = (2-n)(n+1)$ y queda:

$$a_{n+2}=\frac{2-n}{9(n+2)}a_{n}$$