Otras carreras Series de funciones.

[mjhelal]

Estoy resolviendo algunos problemas de convergencia uniforme de series de funciones, como parte del estudió de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales. El problema es el siguiente:

Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la serie: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n! }$

Bueno, esta serie tiene límite puntual ${e}^{x }$, el tema es que no logro probar la No convergencia uniforme

Yo creo que no converge uniformememente, además intenté utilizar el criterio de la mayorante para probar convergencia uniforme no tuve exito.

Alguien conoce alguna forma de probar la no convergencia uniforme??

Muchas gracias

[carroza]

Re: Series de funciones.

Convergencia uniforme

Una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío con valores en un espacio métrico converge uniformemente a una función si para todo existe un entero (que depende de ) tal que

para todo y todo .





Vista esta definición de convergencia uniforme, la respuesta a tu problema depende de cual sea el dominio de la función, es decir, los valores de x aceptables.


Si estos van hasta infinito, la serie no tiene convergencia uniforme. Si van hasta un valor finito, entonces si.


Esto puedes verlo porque si tomas x=N, la diferencia de tu serie y el limite es mayor que 1.

[mjhelal]

Re: Series de funciones.

El dominio mencionado en el ejercicio es R. Así que no hay convergencia uniforme al final. Gracias por tu tiempo.