1r ciclo Cálculo de la segunda solución par el método de Frobenius

[IvaanOne]

Buenas tardes comunidad.

Verán les presento el problema. La ec. es muy sencilla:

$$x^2y''(x)-x(1+x)y'(x)+y(x)=0$$

(no me entretendré mucho) Estudiando las singularidades, se llega a la conlcusión de que en el origen $x_{0}$ la función es analítica y es un punto singular regular. Por lo que, aplicando el método de Frobenius:

$$y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_{n} x^{n+r}$$

Derivando, sustituyendo y simplificando llego a la ec. indicial:

$F(r)=r^2-2r+1=0 \Rightarrow r=1$ (multiplicidad 2)

Por lo que $r_1=r_2=1$, y de la relación de recurrencia obtengo la serie $a_n$ en función de a_0 si sistituyo r\equiv r_1 :

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n+r-1} = a_0 \left\{ 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3*4}\ldots \right\}$$

De esta ec. se deriva la primera solución de la ec. diferencial:

$$y_1 (x)= \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^{n+1}$$

Para encontrar la segunda solución utilizo esta fórmula:

$$y_2 (x) = \log{x} + \sum_{n = 1}^\infty a'_n (r_{1}) x^{n+r}$$

y aquí no se seguir... ¿alguien me echa un cable?

[polonio]

Re: Cálculo de la segunda solución par el método de Frobenius

Como la ecuación indicial tiene raíz doble, el método sólo nos da una solución linealmente independiente ($y_1(x)$). Así que yo usaría la fórmula de Abel (que se obtiene de la fórmula de Liouville) para obtener la otra solución linealmente independiente.