1r ciclo Aplicaciónes del Teorema de Escape de Compactos

[mjhelal]

Buenos días:

Estoy necesitando ayuda con el siguiente ejercicio:

"Consideremos la ecuación diferencial autónoma $x'=f(x) en R$, y un ${x}_{0} \in R$ tal que $f({x}_{0}) > 0$. Sea $x(t)$ la solución de la ecuación diferencial con dato inicial $x(0) = {x}_{0}$:

Si $f(x) > 0$ para todo $x \geqslant {x}_{0}$, entonces probar que $\int_{{x}_{0}}^{+\infty }\frac{ds}{f(s) } \ = +\infty$ es condición suficiente para que la solución $x(t)$ este definida para todo tiempo $t\geqslant 0$"

En base a otro ejercicio que hice como aplicación del Teo de escape de Compactos, yo se que el hecho de que la función $f(s)$ este acotada es suficiente para que la solución $x(t)$ exista en todo tiempo $t\geqslant 0$. Pero no logro extraer esa conclusión en base a la hipótesis planteada en esta integral impropia.


Muchas gracias!