1r ciclo Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

[Stakpida]

Hola a todos, soy nuevo por aquí y he visto que hay gran nivel en todos los aspectos.
Os mando un problema que tengo acerca de un trabajo de la universidad, os agradecería me dijerais como poder empezar a resolverlo ya que esta estructura no la he trabajado casi nada y estoy muy perdido jeje.

Ahí va:
Cuando se combinan 2 compuestos quimicos, la velocidad a la que se crea un nuevo compuesto surge a traves de esta ecuacion diferencial:

$dy/dt = k(\alpha-y)(\beta-y)$

En el que y(t) es la cantidad de sustancia producida, k>0 siendo una constante de proporcionalidad siendo en este caso igual a 1, y $0<\alpha<\beta$son las cantidades iniciales de los productos reactantes.

Se pide:
-Las soluciones estacionarias.
-La cantidad de y(t) cuando$t\to$infinito.

Muchas gracias de antemano, espero me podáis guiar de alguna manera

[polonio]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Pues, si la ecuación a la que te refieres es:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= k\,\alpha_y \, \beta_y$

la solución estacionaria ($\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= 0$) se daría cuando no hay reactantes (o se acaba uno se ellos). Así, la cantidad final de $y$ será la más pequeña de las cantidades de los reactantes, que es la solución estacionaria.

La solución estacionaria (cuando las magnitudes no varían en el tiempo) se alcanza cuando $t\to \infty$, así que te estarían preguntando dos veces lo mismo (a menos que te dejes algo en el enunciado o yo no lo haya entendido bien).

[Stakpida]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

no no, la ecuacion es esta::

dy/dt = k·(alpha-y)·(beta-y)

yo he trabajado con ecuaciones sin terminos que pueden variar, por eso no encuentro manera de encontrar lo que pide.

[SO3]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Las soluciones estacionarias son aquellas en las que el ritmo de crecimiento del compuesto $y$ es , es decir,cuando la derivada se anula, que son $y(t)=\alpha$ e $y(t)=\beta$. Lo cual tiene una interpretación muy simple , si hay tanto compuesto nuevo como alguno de los compuestos iniciales, es que ya no queda de alguno de los "ingredientes" para seguir creando del nuevo compuesto. (Perdona mi terminología química, soy muy ignorante en muchas cosas, y en particular en química).


Además, la ecuación nos dice que $y$ crecerá mientras quede alguno de los compuestos es decir, en $0\leqslant y \leqslant \alpha$ y decrecera en $\alpha \leqslant y \leqslant \beta$, pues la derivada es positiva o negativa respectivamente en dichos intervalos, y por unicidad de soluciónes, $y$ tiende a $\alpha$.

Para $y > \beta$ o $y$ negativo, también podrías calcular el signo de la derivada , pero no le veo ninguna interpretación, lo interesante del modelo es $0 \leqslant y \leqslant \beta$.

[polonio]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Las soluciones estacionarias son aquellas en las que el ritmo de crecimiento del compuesto $y$ es , es decir,cuando la derivada se anula, que son $y(t)=\alpha$ e $y(t)=\beta$. Lo cual tiene una interpretación muy simple , si hay tanto compuesto nuevo como alguno de los compuestos iniciales, es que ya no queda de alguno de los "ingredientes" para seguir creando del nuevo compuesto. (Perdona mi terminología química, soy muy ignorante en muchas cosas, y en particular en química).

Además, la ecuación nos dice que $y$ crecerá mientras quede alguno de los compuestos es decir, en $0\leqslant y \leqslant \alpha$ y decrecera en $\alpha \leqslant y \leqslant \beta$, pues la derivada es positiva o negativa respectivamente en dichos intervalos, y por unicidad de soluciónes, $y$ tiende a $\alpha$.

Para $y > \beta$ o $y$ negativo, también podrías calcular el signo de la derivada , pero no le veo ninguna interpretación, lo interesante del modelo es $0 \leqslant y \leqslant \beta$.

Efectivamente, es lo mismo decir que ya no queda uno de los reactivos que decir que la cantidad de producto es igual a la cantidad inicial de uno de los reactivos.

[Caifan]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Como información general, la constante $k$, llamada constante de velocidad, depende de la temperatura a la que se lleve a cabo la reacción, en este caso ya la conocemos y es igual a $1$. Los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ dependen de los coeficientes de la ecuación química balanceada que gobierna la reacción y de las cantidades iniciales de reactivos presentes en el reactor (donde se lleva a cabo la reacción). Por lo que veo en este caso, los coeficientes de la ecuación química son todos igual a $1$, en este caso, $\alpha$ y $\beta$ son iguales a las cantidades iniciales de reactivos en el reactor.

Este modelo cinético se aplica a reacciones químicas que, solamente mediante experimentación, se ha determinado que lo siguen. A dichas reacciones se les denomina de segundo orden.

Ahora planteamos la solución de la ecuación. La ecuación es la siguiente

$\dst {\frac{\dd y}{\dd t} = k\,(\alpha-y)(\beta-y)}$

Comenzamos separando variables

$\dst {\frac{\dd y}{(\alpha - y)(\beta - y)} = k \, \dd t}$.

Ahora, es necesario definir los límites que deben tener las integrales definidas (podríamos integrar de manera indefinida, pero la experiencia me dice que se pierde mucho tiempo). Para definir los límites debemos considerar que el límite inferior de una integral debe corresponder físicamente con el límite inferior de la otra integral, al igual que los límites superiores. Las cantidades o expresiones que apareceran en los límites de integración deben representar algun valor de la variable de integración ($y$ y $t$); para esto, debemos conocer la cantidad de producto químico formado, $y$, en un cierto instante $t$.

Supongamos que al inicio de la reacción, en $t = 0$, hay una cierta cantidad $y = y_0$ de producto químico, esta cantidad $y_0$ comunmente es igual a cero, lo que significa que al reactor solo le introduces reactivos; en esta solución consideraremos que puede ser diferente de cero. Para obtener un modelo util de la variable dependiente, es necesario obtener precisamente eso, una variable, después de integrar. Por esta razón los límites superiores deben ser términos variables; simplemente, en un instante $t$ cualquiera, la cantidad de producto formado es $y$.

Colocamos ahora las integrales con sus respectivos límites:

$\dst{\int_{y_0}^{y} \frac{\dd y}{(\alpha - y)(\beta - y)}= k \int_0^t \dd t}$.

Despúes de integrar, simplificar las integrales, evualuar, voler a simplificar, y despejar para la variable dependiente, se tiene que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las soluciones estacionarias son aquellas en las cuales $\frac{\dd y}{\dd t} = 0$, por lo tanto, tenemos dos opciones: calcular la derivada con respecto al tiempo de la función que obtuvimos, o usar la ecuación diferencial, que es ya una derivada (es una derivada implícita). Aunque no es una derivada muy tediosa en realidad, usaremos la derivada implícita porque ya conocemos su forma y porque podemos sacar conclusiones físicas de ella de forma mas simple.

La derivada es la siguiente, que es igual a cero (por estar en estado estacionario):

$\dst {\frac{\dd y}{\dd t} = k\,(\alpha-y)(\beta-y)} = 0$

Dividiendo la ecuación por k se llega a la siguiente expresión

$(\alpha - y)(\beta - y) = 0$

Esto nos da dos opciones, dividir ambos miembros por $\alpha - y$ ó por $\beta - y$. Si dividimos por $\alpha - y$ resulta que

$y = \beta$

lo que indica que si la cantidad de producto es en algun momento igual a la cantidad total de reactivo $B$ (llamemos $B$ al rectivo que tiene $\beta$ gramos iniciales), esta cantidad no cambiará, como lo explica nuestro compañero SO3.

La solución cuando $t \to \infty$ se obtiene aplicando el límite a la solución obtenida.

$\dst {\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{t \to \infty}{\frac{{\alpha \exp[{\frac{kt}{\beta - \alpha}}]}-{\frac{y_0 - \alpha}{y_0 - \beta}\beta}}{\exp[{\frac{kt}{\beta - \alpha}}] - {\frac{y_0 - \alpha}{y_0 - \beta}}}} }$

Por lo tanto

$\dst {\lim_{x \to \infty} y(t) = \beta}$

[Stakpida]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Muchas gracias a todos, han sido unas explicaciones muy muy buenas y concisas. He podido avanzar mucho en otra cantidad de ejercicios relacionados a esto lo que me han surgido dos pequeñas dudas de nuevo para poder acabar todo el cuestionario, nose si alguno de vosotros la podrá solucionar; usando todo lo dado anteriormente:

-Se pide que para valores de alpha y beta se haga un campo de vectores (maple) y que se describa el comportamiento de crecimiento y decrecimiento segun las condiciones iniciales (esas condiciones no se encontrarlas).
-Se pide repetir la descripcion del comportamiento de y(t) por alpha y beta en general a partir de la edo. (Ahí me hago un lío entre ambos apartados)

Muchas gracias de antemano.

[polonio]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Como información general, la constante $k$, llamada constante de velocidad, depende de la temperatura a la que se lleve a cabo la reacción, en este caso ya la conocemos y es igual a $1$. Los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ dependen de los coeficientes de la ecuación química balanceada que gobierna la reacción y de las cantidades iniciales de reactivos presentes en el reactor (donde se lleva a cabo la reacción). Por lo que veo en este caso, los coeficientes de la ecuación química son todos igual a $1$, en este caso, $\alpha$ y $\beta$ son iguales a las cantidades iniciales de reactivos en el reactor.

Este modelo cinético se aplica a reacciones químicas que, solamente mediante experimentación, se ha determinado que lo siguen. A dichas reacciones se les denomina de segundo orden.

Ahora planteamos la solución de la ecuación. La ecuación es la siguiente

$\dst {\frac{\dd y}{\dd t} = k\,(\alpha-y)(\beta-y)}$

Esa ecuación diferencial sí que me suena mejor...

[Caifan]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

Despues de dar mi respuesta al problema me fui a dormir. Con razón tuve pesadillas. Hay un error en la solución al segundo punto, cuando permitimos que la variable $t$ tienda a ser muy grande. Si se fijan bien, nos conduce a una indeterminación de esas que le quitan el sueño a cualquiera, debido a que

$\dst {{\frac{k}{\beta - \alpha}}} >\ 0$

ya que $\beta - \alpha$ es positivo, al ser $\alpha <\ \beta$. Esto prueba que el ultimo resultado no lo razone físicamente antes de publicar la respuesta.

Al final de la reaccion ($t \to \infty$), ¿cómo puede haberse formado $\beta$ gramos o moles del producto químico, si se supone que $\alpha <\ \beta$? Al haberse formado una cantidad $y = \alpha$ la reacción no continúa mas, porque es un punto estacionario y la cantidad de producto formado no puede alcanzar el valor $y = \beta$. Entonces, el verdadero valor del límite debe ser

$\dst \lim_{t \to \infty} y(t) = \alpha$.

Pero como a todas luces se trata de un problema de Ecuaciones Diferenciales más que de Cinética Química, y porque a todos nos gustan las matemáticas, pasaremos a demostrar este resultado a partir de la solución general de la ecuación diferencial, $y(t)$.

Para esto modificaremos la solución que tenemos actualmente, sin que pierda validez, sólo tomará otra forma, y despúes permitiremos que la variable independiente $t$ tome valores cada vez más grandes.

La forma de la solución que necesitamos debe contener la variable independiente como parte de un término que al tomar su límite al infinito no se indefina (como en mi vergonzoso intento). De hecho, sólo necesitamos que el coeficiente que acompaña a $t$ dentro del argumento de la función exponencial tome un valor menor a cero. Pero también nos debemos de deshacer de esos términos que ocasionaron mi error. ¿Cómo nos deshacemos de estos términos? Pues multiplicando tanto el numerador como el denominador por el siguiente factor

$\dst {\exp [\frac{kt}{\alpha - \beta}]}$

Realizando la multiplicación, término por término, llegamos a

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Como podrán darse cuenta, el término que introducimos no se indetermina al hacer que $t \to \infty$, simplemente es ; los terminos que si se indeterminaban, ya no estan. Tomándo el límite

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Finalmente llegamos a la solución correcta, que es

$\dst {\lim_{t \to \infty} y(t) = \alpha}$

Que demuestra el análisis realizado al principio. Les pido una disculpa por este error, ahora sí podre dormir, con mi conciencia más tranquila.

Respecto a tus otras preguntas, la segunda no se a que se refiera el problema, ya que la solución que obtuvimos es perfectamente general. Con respecto al campo vectorial que describa el comportamiento de $y$, segun las condiciones iniciales te puedo decir lo siguiente.

Las condiciones iniciales no son otras sino la cantidad de reactivos y productos que introduces al reactor, a saber, $\alpha$, $\beta$ y $y_0$. En este problema claramente se indica que a partir de $\alpha$ y $\beta$ construyas el campo vectorial. Pero no podemos olvidarnos de la dependencia con respecto al tiempo. Entonces, en general, no es cierto que $y = y(t)$, sino que

$y = y(\alpha, \beta, t)$

También depende de la constante de velocidad $k$, pero consideremos que es constante, ya que así lo es para una reacción en específico a cierta temperatura. El campo vectorial que describe el comportamiento de $y$ respecto a las tres variables independientes no es otro sino el gradiente del campo escalar $y(t)$.

Como sabrás, el gradiente es el campo vectorial definido por

$\dst {\vec{\nabla} \, y(\alpha, \beta, t) = \frac{\partial y}{\partial \alpha} \hat{\alpha} + \frac{\partial y}{\partial \beta} \hat{\beta} + \frac{\partial y}{\partial t} \hat{t} }$

Las cantidades $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$ y $\hat{t}$ son vectores unitarios en cuya dirección los valores de $\alpha$,$\beta$ y $t$ crecen. Pero como en tu problema se pide que para valores de alpha y beta se haga un campo de vectores, ignoraremos la dependencia al tiempo. Esto quiere decir que elegiremos un valor cualquiera del tiempo, por ejemplo $t = t_1$, para el cual $y = y(\alpha, \beta)$, con lo cuál el gradiente se simplifica a

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

MAPLE tiene un paquete con el cual es posible dibujar campos vectoriales, pero en este momento no recuerdo cuales son los comandos y no tengo a la mano mis manuales. En la ayuda de MAPLE debes encontrar estos comandos.

Espero haber sido útil, y una vez más, una disculpa por el error de kinder que cometí.

[Stakpida]

Re: Ecuacion Diferencial (Mezcla de compuestos)

gracias de nuevo! al fin ya terminé todo el trabajo. Me han ayudado excepcionalmente! un gran lujo de verdad! muchísimas gracias de nuevo.