1r ciclo Resolución de ED de primer orden

[nac]

Hola!

Estoy intentando resolver esta ED de primer orden y no encuentro la solución, el enunciado del problema dice que hay que resolverla encontrando un factor integrante:

$(2x{y}^{2} -3{y}^{3})dx+(7-3x{y}^{2})dy=0$

Edit: vale, había un error, era un cuadrado y no un cubo en el exponente de la primera variable y que aparece en la ecuación

Primero, no "veo" cómo poner la ecuación en la forma y'+f(x)y=r(x).

He probado a encontrar un factor integrante. Si la ecuación viene en la forma M dx + N dy=0, entonces:

$\frac{1}{M} (\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})=\frac{2}{y}$

Entonces, el factor integrante que busco es

$F(y)={e}^{\int \frac{2}{y}dy }={y}^{2}$

Pero al meterlo en la ED, me sigue saliendo que no es exacta

[polonio]

Re: Resolución de ED de primer orden

No sé si entiendes bien lo que es un factor integrante. Un factor integrante es una función que al mutiplicar a una ecuación diferencial de la forma $M \dd x + N \dd y = 0$ que no sea exacta (esto es: $\dst \frac{\partial M}{\partial y}\neq \frac{\partial N}{\partial x}$), la convierte en exacta.

Así, si existe un factor integrante $\mu (x,y)$, entonces la ecuación diferencial

$$\mu M \dd x + \mu N \dd y = 0$$

es exacta. Por tanto:

$$\dst \frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$

$$\dst \frac{\partial \mu}{\partial y}M+ \mu \frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial \mu}{\partial x}N+ \mu \frac{\partial N}{\partial x}$$

En tu caso:

$$\dst \frac{\partial \mu}{\partial y}(2xy^2-3y^2)+ \mu (4xy-6y)= \frac{\partial \mu}{\partial x}(7-3xy^2)+ \mu (-3y^2)$$

Ahora lo complicado es buscar un factor integrante $\mu (x,y)$ que cumpla esta relación, pues pueden haber mucha soluciones. Puedes intentarlo con un factor integrante que sólo dependa de $x$: $\mu (x)$, por ejemplo. Lo normal es que te den una pista.

[carmelo]

Re: Resolución de ED de primer orden

Hola:

Utiliza como factor integrante $F(y)=\dst\frac1{y^2}$. No probe a resolverla, pero este factor integrante la convierte en exacta.

Saludos
Carmelo

[polonio]

Re: Resolución de ED de primer orden

Hola:

Utiliza como factor integrante $F(y)=\dst\frac1{y^2}$. No probe a resolverla, pero este factor integrante la convierte en exacta.

Saludos
Carmelo

Y si dices cómo has deducido dicho factor, ya sería redondo

[carmelo]

Re: Resolución de ED de primer orden

Hola:

Por no decir otra cosa llamemosle "prueba y error".

Saludos
Carmelo