1r ciclo E.D.O. de segundo orden

[M_Odes]

Hola compañeros del foro, estaba resolviendo un problema de mecánica clásica que me llamó la atención y me encontré con la siguiente E.D.O.

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta ^2} +u=\frac{\gamma}{u^3}+\kappa$$

donde $\gamma$ y $\kappa$ son constantes
alguna sugerencia para solucionarla? he supuesto soluciones exponenciales las reemplazo en la EDO original buscando una solución pero siempre fracaso.
Saludos!

[polonio]

Re: E.D.O. de segundo orden

Busca primero la solución de la ecuación homogénea:

$$\dst \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta ^2} +u=0$$

que tiene una solución de la forma:

$$\dst u_H(\theta)=C_1\cos(\theta)+C_2\sin(\theta)$$

Y, luego, por el método de la variación de las constantes, una solución particular de la completa.

[M_Odes]

Re: E.D.O. de segundo orden

Lo intenté,pero me encuentro en problemas debido a que particularmente el método de variación de parámetros aplica a ecuaciones de la forma

$$\frac{\mathrm{d}^2 y(x)}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d}x}+Q(x)y(x)=f(x)$$

y en este caso tenemos que la EDO es de la forma

$$\frac{\mathrm{d}^2 y(x)}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d}x}+Q(x)y(x)=\phi (y(x))$$

particularmente

$$\frac{\mathrm{d}^2 y(x)}{\mathrm{d}x^2}+y(x)=\gamma (y(x))^{-3}$$

Por otro lado traté de solucionar la ecuación intruduciendo $\nu = \nu (u(\theta))=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \theta}$, por lo tanto $\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d} \theta} = \nu \frac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} u}$ (aplicando regla de derivación en cadena)
luego la EDO inicial toma la forma

$$\nu \frac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} u} + u = \frac{\gamma}{u^3}+\kappa$$

que puede tratarse con variables separables, obteniendo

$$\nu^2=-\frac{\gamma}{u^2}-u^2+2\kappa u + C_1=\left( \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} \theta} \right)^2$$

Luego puedo obtener otra ecuación de variables separables

$$\frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} \theta}=\sqrt{-\frac{\gamma}{u^2}-u^2+2\kappa u + C_1}$$

que finalmente me deja el lío

$$\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{-\frac{\gamma}{u^2}-u^2+2\kappa u + C_1} } = \mathrm{d}\theta$$

con $\theta \in \left( 0,2\pi\right)$ $u\in \left( 0 ,u\right)$
que según wolfram alpha me deja esta corta expresión (debe esperar un poco para que salga la respuesta completa)

Seguramente debe haber otra manera que no haya intentado para solucionar esta ecuación

[Al2000]

Re: E.D.O. de segundo orden

...
que finalmente me deja el lío

$$\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{-\frac{\gamma}{u^2}-u^2+2\kappa u + C_1} } = \mathrm{d}\theta$$

...

El resultado de Maxima es muy parecido:

$$\pm \int \frac u {\sqrt {- u^4 + 2 \kappa u^3 -2 c_1 u^2 - \gamma }}\, du = \theta + c_2$$

pero Maxima no intenta resolver la integral.

Saludos,

Al

[polonio]

Re: E.D.O. de segundo orden

Es verdad, no había visto la u en el segundo término de la desigualdad...

Voy a intentarlo mediante alguna transformada integral o mediante series y te cuento.

Por cierto, ¿te dan algunas condiciones de contorno?