1r ciclo EDP cuestión filosófica.

[horxata]

Para las clasicas EDP lineales de problemas físicos, siempre se empieza por asumir que la función a buscar U de x variables independiantes tiene la forma de un producto de x funciones de solo una variable independiente.

Mi pregunta es: como puede saberse que esa suposición es correcta? Se resolver algunos problemas de temperatura, potencial y ondas pero me resulta muy misterioso hacer ese enunciado al empezar cada problema para separar variables.

Que sé yo si la respuesta tiene forma de producto de otras x funciones de una variable?

[Qwert]

Re: EDP cuestión filosófica.

Me he hecho la misma pregunta, y la única forma de responderla ha sido que si dicho supuesto es falso, o sea que una función de este tipo no resuelve tal encuación diferencial entonces se llegaría a una contradicción.

[polonio]

Re: EDP cuestión filosófica.

No siempre es aplicable. Sólo a EDPs de segundo orden donde no aparecen derivadas cruzadas y donde las condiciones de contorno son de determinadas caracteríaticas. Además, el método da una solución completa pero particular... no una solución general.

Lo que ocurre es que es aplicable a un buen puñado de problemas físicos muy comunes.

[arreldepi]

Re: EDP cuestión filosófica.

Hola, no sé si he entendido bien lo que preguntáis, pero creo que la pregunta es: por qué cuando tenemos una ecuación diferencial en derivadas parciales, asumimos que la función que queremos encontrar es producto de tantas funciones de una variable como variables tenga el problema?

Es una suposición que puede no ser cierta, hay que comprobarlo para cada caso. Es lo que se conoce como método de separación de variables, de poderse hacer nos permite separar la ecuación en derivadas parciales a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (yo sólo lo he visto hecho con derivadas segundas como mucho, con más en general hemos aplicado transformadas):

Por poner un ejemplo clásico: el de transporte de calor en una dimensión

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac 1k\frac{\partial u}{\partial t}$$

Suponemos que

$$u(x,T) = X(x)T(t)$$

ahora hacemos las derivadas correspondientes y llegamos a que:

$$T(t)\frac{\dd^2 X}{\dd x^2}=\frac 1k X(x)\frac{\dd T}{\dd t}\qquad\to\qquad \frac{1}{X(x)}\frac{\dd^2 X}{\dd x^2}=\frac{1}{kT(t)}\frac{\dd T}{\dd t} \qquad\to\qquad \Phi(x) = \Psi(t)$$

La igualdad debe verificarse para cualquier de las dos variables fija y la otra variable, con lo cual (se puede verificar derivando) ambas tienen que ser iguales a una constante, que es la constante de separación que nos permite escribir la igualdad anterior en forma de sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

No sé si era esa la pregunta

Saludos!

[JCuquejo]

Re: EDP cuestión filosófica.

Hola

No os puedo dar una seguridad completa, ya que las ecuaciones en derivadas parciales las he tratado poco. Pero el caso es que la idea de la separación de variables es probar una solución del tipo: $f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f_1(x_1) f_2(x_2) \ldots f_n(x_n)$ y obligarla a cumplir las condiciones de contorno del problema. Debe haber un trabajo matemático profundo por detrás, que no conozco o recuerdo, que dé legitimidad al método. Algo del estilo de que dada una función de $n$ variables, bajo ciertas condiciones, es posible escribirla en función de $n$ funciones de una sola variable. Algo muy similar al Teorema de Taylor, que te permite escribir una función arbitraria como suma infinita de monomios de la forma $kx^n$.

Un saludo.

Juan.