1r ciclo Cambio variable

[neometalero]

Hola de nuevo, intento resolver esta EDO con un cambio de variable pero no se si no uso el oportuno o lo manipulo incorrectamente. Alguna sugerencia:

$$xyy'=\frac{1}{ 2}({x}^{ 2}+{y}^{2 } )$$

[Al2000]

Re: Cambio variable

¿Intentaste el cambio $u = y^2$? La ecuación quedaría $x u' = x^2 + u$.

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Cambio variable

Vaya, pues no y la verdad es que ahora que lo pones resulta bastante evidente que el que yo use no funcionaria jejeje.
Voy a probar, gracias Al!!

[neometalero]

Re: Cambio variable

mmm esto sigue sin salirme Al, alguna pista, ando bastante perdido. Estoy haciendo un boletin entero que contiene 108 ejercicios y hay 4 que no me salen, este es uno de ellos y juraria que no es de los dificiles.

[Al2000]

Re: Cambio variable

Mmmm, me disculpas si mi respuesta no te satisface pero hace ya muchos años que he olvidado los métodos para resolver una ecuación diferencial. Hoy día agarro un manual y busco la solución, lo cual probablemente no te sirve a ti. De todas formas te doy la solución y como la obtuve. Si en la ecuación original

$$x y y' = \frac 1 2 (x^2 + y^2)$$

se hace el cambio

$$u = y^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2 y y'$$

se convierte en

$$x u' = x^2 + u \quad \Rightarrow \quad u' - \frac u x = x$$

En el Murray-Spiegel consigo que

$$y' + P_{(x)} y = Q_{(x)} \quad \Rightarrow \quad y\, \ee ^{\int P\, dx} = \int Q\, \ee ^{\int P\,dx} dx + C$$

Entonces, poniendo $\dst P_{(x)} = -1/x\,,\,\,\,Q_{(x)} = x$, queda luego de integrar que

$$\frac u x = x + C \quad \Rightarrow \quad u = x (x+C) \quad \Rightarrow \quad \boxed {y = \sqrt{x (x + C)}}$$

Puedes comprobar sustituyendo en la ecuación original que esta solución es correcta.

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Cambio variable

Gracias, nunca aprendí EDO en la carrera, no podia ir a clase y ahora a la fuerza me toca aprender solo. Hice eso que dijiste pero claro, no reconoci esa forma de la ecuacion para aplicar la "formulita" que me has puesto. Gracias de nuevo!!