1r ciclo Otra edo, la última

[neometalero]

En este caso, no se me ocurre el cambio de variable oportuno, la ecuacion es:

$$y'=\frac{y+x}{y-x }$$

Sugerencias? Gracias!!

[Al2000]

Re: Otra edo, la última

Si reescribes la ecuación como $\dst y' = \frac {y/x + 1}{y/x - 1}$ y haces el cambio $u = y/x$ la ecuación se convierte en $\dst x u' + u = \frac {u+1}{u-1}$, cuya solución es $\dst y = x \pm \sqrt {2 x^2 + C},\,\,C \geqslant 0$.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Otra edo, la última

Hola:

Utiliza $u=\dst\frac yx$.

Mas tarde te lo desarrollo, si lo deseas.

Saludos.
Carmelo.

PD: Se me adelanto Al.

[neometalero]

Re: Otra edo, la última

Hice ese cambio pero no consegui llegar a esa solucion, volvere a probar. Gracias a ambos

[neometalero]

Re: Otra edo, la última

No se si he procedido bien pero llego a un punto en el que tengo

$$lnx=\frac{1}{2 }ln[(u-2)u-1] +C$$

y no logro llegar a la solución que me dais, o bien ese punto es incorrecto o no se manipularlo debidamente. Tampoco me queda claro ese argumento del logaritmo que relacion tienen (u-2)u-1, deduzco que se multiplican?

[Al2000]

Re: Otra edo, la última

Tienes un error con el signo de la integral. El resultado es

$$\ln x = - \frac 1 2 \ln \left(u^2 - 2 u - 1 \right) + C$$

que puedes escribir

$$\ln (x^2) = \ln \frac {C'}{u^2 - 2 u - 1}\,,\quad C' = \ee ^C$$

tomando antilogaritmos y reacomodando tenemos

$$(x^2)(u^2 - 2 u - 1) = C' \quad \Rightarrow \quad y^2 - 2 x y - x^2 = C'$$

y renombrando $C'$ como $C$, tenemos finalmente que

$$y = \frac {2 x \pm \sqrt {4 x^2 + 4 (x^2 + C)}} 2 \quad \Rightarrow \quad \boxed {y = x \pm \sqrt {2 x^2 + C}}$$

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Otra edo, la última

Gracias Al!!