1r ciclo Ecuación de difusión del calor en 2D

[nac]

Hola

Me han pedido como ejercicio que resuelva esta ecuación en derivadas parciales, nos dejan usar el programa Mathematica. Para una dimensión, con un término constante adicional la he resuelto usando transformadas de Laplace (TL), me queda una ED en la TL que resuelvo y una vez obtengo qué vale la TL, hago la TL inversa y obtengo u(x,t) (me dan condiciones de contorno también).

Ahora, para 2D, he intentado hacer lo mismo. Me dan esta ecuación con condiciones de contorno:

$\frac{{\partial }u(x,y,t)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial {y}^{2} }+\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial {x}^{2} }$

$u (x,0,t) = u (x,\pi ,t)=u (0,y,t)=u (0,\pi ,t) = 0$ (condición 1)
$u (x,y,0) = x sin(t)$ (condición 2)

Hago la TL de la ecuación, y, usando la condición 2 me queda:

$s \int {e}^{-s t } u (x,y,t) dt - \int {e}^{-s t} \frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial {x}^{2}} dt - \int {e}^{-s t } \frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial {y}^{2}} dt - x sin (y)$

Lo que quiero es sacar de las integrales las derivadas parciales, de modo que me quede una ecuación diferencial en $\int {e}^{-s t } u (x,y,t) dt$ ; me da que se debe poder integrar por partes esas integrales para conseguirlo, pero no lo veo aún.

¿Alguna idea? ¿Quizás otro método? Debería intentar tomar la ecuación original y separar las variables quizás, pero como en 1D salió fácil, tiré por el mismo camino ...

Edit: Vale, ya he visto que la ecuación es separable, haciendo u(x,y,t) = X(x) Y(y) T(t), pero me gustaría resolverla utilizando transformadas.

Saludos, Nacho.