Otras carreras Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.

[galeano]

Hola , necesito encontrar solución analítica a la siguiente ecuación:

X*Y'' + 2*Y' + X*Y = X^2 ; Y(1)=0, Y(3)=0 ;

[carmelo]

Re: Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.

Hola:

Te sugiero hacer el cambio de variable: $u=xy$, obtendrás una ecuación del tipo:
$u^{\prime\prime}+u=x^2$, podés seguir?

Saludos
Carmelo

[Umbopa]

Re: Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.

x^2 y'' + 2xy' + x^2 y = x^3

Esta es una ecuación de Bessel esférica .

x^2 Y'' + 2xY'+ (x^2-n(n+1))=0 -----> Y(x)=c1* jn(x) + c2*yn(x)

Siento jn(x)= sqrt(pi/2x)*J_n+1/2 (x) y yn(x) = sqrt(pi/2x)*Y_n+1/2 (x)

en esta ecuación n(n+1)=0 n=0 o n=-1 cojamos n=0

Por lo tanto la solución es : Y(x)=c1* j0(x) + c2*y0(x) + Solución.particular



Para encontrar la solución particular sencillamente probemos una solución : y=ax+b/x --> y' = a-b/x^2 ---> y''=2b/x^3

Substituimos --> 2b/x + 2xa -2b/x +ax^3+bx=x^3 -----> a=1 ---> 2a+b=0 --> b=-2

Osea finalmente tu solución es :

Y(x) = c1* j0(x) + c2*y0(x) + x - 2/x

También podemos tener en cuenta que j0(x)= sin(x)/x y0(x)=-cos(x)/x

Entonces queda --> Y(x) = c1* sin(x)/x + c2*cos(x)/x + x - 2/x