1r ciclo Problema de Valor Inicial

[kuvala]

Hola Buenas :

Estoy empezando a estudiar las ecuaciones diferenciales y me está costando un poco de trabajo entender la metodología que se sigue e identificar cada caso. Tengo un problema de valor inicial que no sé cómo resolverlo. Pongo el enunciado y lo que yo he hecho:

"Resolver el problema de valor inicial $xy'=y+{({x}^{2 }-{y}^{ 2})}^{ \frac{1}{2 } }$, para y(1)=0"

Yo lo que hecho es lo siguiente:
Creo que es una ecuación homogénea, así que he hecho el cambio de variables $\dst z(x)=\frac{y(x)}{x }$. Sustituyendo y haciendo unos cálculos he llegado a $\dst x\cdot dx=\frac{\sqrt{1-{z}^{2 } } dz}{ z}$ y he integrado en los dos miembros de la ecuación. En uno de los miembros me ha quedado $\dst \frac{{x}^{2 } }{ 2}$ y en el otro $-\frac{1}{2 }\cdot ln\left\vert{1-\sqrt{1-{(\frac{y(x)}{x }) }^{2 } } } \right\vert{} + \frac{1}{2 }\cdot ln\left\vert{1+\sqrt{1-{(\frac{y(x)}{x }) }^{2 } } } \right\vert{}+\sqrt{1-{(\frac{y(x)}{x }) }^{2 } } + C$. El problema lo tengo cuando quiero averiguar cuanto vale C, ya que al sustituir el valor de y(1)=0, hay un logaritmo que no lo puedo resolver.

Muchas gracias

Un Saludo

[carmelo]

Re: Problema de Valor Inicial

Hola:


Es cierto lo que planteas pero veamos los cálculos:
La ecuación que obtenemos es:

$$u^{\prime}x=\sqrt{1-u^2}$$

despejando

$$\dst\frac{\dd u}{\sqrt{1-u^2}}=\dst\frac {\dd x} x$$

También vemos que $u(1)=0$
Por lo tanto, integrando:

$$\arcsin u |^u_0=\ln |x| \;|^x_1$$

$$\arcsin u =\ln |x|$$

o lo que es lo mismo

$$u=\sin\ln |x|$$

El resultado final es:

$$\boxed{y=x\sin\ln |x|}$$

Saludos
Carmelo

[kuvala]

Re: Problema de Valor Inicial

Hola Buenas :

Muchísimas gracias por la respuesta. Después de repasar lo que yo he hecho comparado con el tuyo, me he dado cuenta de que me había equivocado en un error de cálculo del principio, por eso no me salía...