1r ciclo Comprobación de ecuación diferencial

[Uranio]

Hola:

Hoy he resuelto la siguiente ecuación diferencial:

$2xy \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+2y^2$

El problema, más que resolverla, ha sido comprobar el resultado:

$y=x \cdot \sqrt{ \ln (C\cdot x) }$

$donde$ $C = cte.$

Lo he comprobado con el Wolfram, y es correcta, pero no he podido llegar partiendo de la solución a la expresión diferencial dada en el enunciado.
A ver si alguien me puede echar una mano

[[Beto]]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

¿quieres saber como se resuelve o quieres comprobar reemplazando la solución en la EDO?

[Uranio]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

Resolverla ya la he resuelto
Lo que me gustaria sería demostrar, derivando la solución, que efectivamente es esa la solución de la EDO.
¿El método que me propones de reemplazar como sería?

[Mister Kroket]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

pues cogiendo tu solución derivandola (respecto a x ) y viendo que eso es igual a $\dst \frac {x^2 + 2y^2}{2xy}$

[Uranio]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

pues cogiendo tu solución derivandola (respecto a x ) y viendo que eso es igual a $\dst \frac {x^2 + 2y^2}{2xy}$

Creo que me he explicado mal.
Lo que dices Mister Kroket, es lo que he intentado hacer. Mi problema es que derivando el resultado no consigo llegar a la expresión inicial, pero el resultado es correcto. Por ello si alguien me puede echar una mano...

[[Beto]]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

Bueno, solo tienes que ir en orden ... primero calcular la primera derivada de $y$, así:

$$\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{\dd\left [x \cdot \sqrt{ \ln (C\cdot x) }\right]}{\dd x}=\sqrt{\mathrm{ln}\left( c\,x\right) }+\frac{1}{2\,\sqrt{\mathrm{ln}\left( c\,x\right) }}$$

Luego es solo cosa de reemplazar:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
seguramente derivaste mal o algo así.

[Al2000]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

Creo que me he explicado mal.
Lo que dices Mister Kroket, es lo que he intentado hacer. Mi problema es que derivando el resultado no consigo llegar a la expresión inicial, pero el resultado es correcto. Por ello si alguien me puede echar una mano...

¿Tal vez querías hacer algo como esto? Si la solución es

$$y = x \sqrt{\ln(Cx)}$$

entonces su derivada es

$$\frac {dy}{dx} = \sqrt{\ln(Cx)} + \frac 1 {2\sqrt{\ln(Cx)}} = y/x + \frac 1 {2y/x} = \frac {2y^2 + x^2}{2xy}$$

de donde reacomodando se obtiene la ecuación diferencial inicial.

Saludos,

Al

[Uranio]

Re: Comprobación de ecuación diferencial

Muchas gracias a todos los que han colaborado para resolver el problema que tenía. Para comprobar la solución uso el método que comentaba Mister Kroket,es decir, como lo ha hecho Al2000. Derivaba bien, pero no sabía como simplificar la expresión para que me quedase como la inicial. Tal y como ha hecho Al2000 se limitaba a sustituir $\cdot \sqrt{ \ln (C\cdot x) }$ por su valor, es decir $y/x$ en lo que no caía.

El método que propones [Beto], no nos lo platearon en clase para comprobar ecuaciones diferenciales, pero vamos, le veo toda la lógica del mundo (como si de una ecuación de toda la vida se tratase) así que tomo nota del mismo.

Muchas gracias a todos por aclararme las dudas, por vuestro interés y tiempo
Un saludo.