1r ciclo Ecuación diferencial de concentración de un medicamento.

[lindtaylor]

A un paciente se le administra un medicamento por goteo intravenoso. La
corriente sanguínea lo llevará al interior del corazon a razón de $3cm^3/seg$. Se
sabe que saldrá de él a la misma velocidad, y que éste órgano tiene un volumen de $125cm^3$. La concentración del medicamento que entra es $0,2g/cm^3$.
a) Plantear la ecuación diferencial que controla la concentración de medicamento en el corazón y resolverla sabiendo que inicialmente el órgano no tenía medicamento.
b) Cuándo la concentración será de $0,1g/cm^3$?

Cómo planteo la ecuación?.

Desde ya gracias.

[arivasm]

Re: Ecuación diferencial de concentración de un medicamento.

Veo que este problema ha quedado bastante tiempo sin respuesta. Espero que el aporte no sea demasiado tarde!

Llamemos Q al caudal de entrada y de salida del corazón (3 cm³/s), V a su volumen (125 cm³) y $c_m$ a la concentración del medicamento en el caudal de entrada (0,2 g/cm³). También llamaremos c a la concentración del medicamento en el corazón.

Imaginemos que, por un raro misterio, el medicamento sólo pudiese entrar en el corazón pero no salir. Entonces, su cantidad iría aumentando a un ritmo igual al producto del caudal de entrada y la concentración del medicamento en dicho caudal (es decir, $Q c_m=$0,6 g/s). Como consecuencia, la concentración en el corazón iría aumentando a un ritmo de $Q c_m/V$, y la ecuación diferencial que cumpliría el sistema sería

$\dst\frac{\dd c}{\dd t}= \frac{Q c_m}{V}$

Como tenemos un caudal de salida y éste tendrá la misma concentración de medicamento que tenga la sangre en el corazón, tendremos que añadir a esta última ecuación un término semejante, salvo que será negativo (pues reduce la cantidad de medicamento en el corazón) y que la concentración será c en lugar de $c_m$:

$\dst\frac{\dd c}{\dd t}= \frac{Q c_m}{V}-\frac{Q c}{V}$