1r ciclo Resolución de Ec. Dif. por Trans. Laplace error

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo que resolver la siguiente ecuación diferencial

$\rho ''-\rho {\omega }^{ 2}=-g\sin (\omega t)$ donde $\rho =\rho (t)$ y $\rho (0)={\rho }_{0 }$, $\rho '(0)=0$

La he resuelto por el método de los coeficientes indeterminados y por el de variación de parámetros y he obtenido correctamente el resultado. Sin embargo, al intentar resolverlo por la transformada de Laplace, no consigo resolverlo. Voy aponer lo que he hecho:

(En lo que sigue, $L\left\{ f(t) \right\}(s)$ representará la transformada de Laplace)

$L\left\{-g\sin (\omega t)(s) \right\} =-gL\left\{\sin (\omega t)(s)\right\}=\dst -g\frac{\omega }{{\omega }^{2 }+{s}^{ 2} }$


$L\left\{\rho ''-\rho {\omega }^{ 2} \right\}$


$L\left\{ \rho (t) \right\}(s)= Y(s)$

$L\left\{\rho '(t)\right\}(s)= sY(s)-\rho (0)=sY(s)-{\rho }_{0 }$

$L\left\{ \rho ''(t) \right\}(s)= {s}^{2 }Y(s)-s\rho (0)-\rho '(0)= {s}^{2 }Y(s)-s{\rho }_{0 }$


${s}^{ 2}Y(s)-s{\rho }_{0 }-Y(s){\omega }^{2 }=-g\frac{\omega }{{\omega }^{2 }+{s}^{2 } } \dst$


$\dst Y(s)=\frac{-g\omega }{{s}^{ 4}-{\omega }^{4 } }+\frac{s{\rho }_{0 } }{{s}^{ 2}-{\omega }^{2 } }$


$\rho (t)={L}^{-1 }\left\{Y(s) \right\}(t)=\dst \frac{-g}{\omega }\sinh (\omega t)+{\rho }_{ 0}\cosh (\omega t)$

Sin embargo, el resultado que debería salir es este otro:

$\rho (t)=\dst \frac{-g}{2{\omega }^{2 } }\sinh(\omega t)+{\rho }_{0 }\cosh (\omega t)+\frac{g}{ 2{\omega }^{2 } }\sin (\omega t)$

¿Qué es lo que falla?

Muchas gracias.

Un Saludo

[Al2000]

Re: Resolución de Ec. Dif. por Trans. Laplace error

$\dst \mathcal L^{-1}\left \lbrace \frac {-g \omega }{s^4 - \omega ^4}\right \rbrace = \frac {-g}{2 \omega ^2} (\mathrm {senh} \, \omega t - \, \mathrm {sen} \, \omega t)$

Saludos,

Al