1r ciclo Resolución de ecuación en derivadas parciales por transformada de Fourier

[elfio]

Hola a todos!

Traigo aquí bajo el brazo un tipo de problema que me trae por la calle de la amargura. No es por la dificultad en sí (que no es mucha), sino por una justificación importante que he de hacer para poder dar uno de los pasos.

El problema en cuestión es de este tipo:

- El potencial electroestático $\phi (x,y)$ en un dominio bidimensional $(x,y) \in [0,L]\times[0,L]$ está determinado por el siguiente problema de valores límites (traducido de boundary-value problem ):

$\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x ^2} + \frac{\partial ^2 \phi}{\partial y ^2} = 0$

Con las siguientes condiciones de contorno:

$\phi (x,0)=0$

$\phi (x,L)=1$

$\frac{{\partial \phi (0,y)}}{{\partial x}}=\frac{{\partial \phi (L,y)}}{{\partial x}}=0$

$0 \leqslant x,y \leqslant L$

Encuentra la solución representando la dependencia de x de la solución utilizando series de Fourier.
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Hasta ahí el enunciado.

Para resolver el problema, antes que nada debo extener de la función $\phi$ a una función periódica $\Phi$ que esté definida en el intervalo $[-L, L]$, que además sea $\Phi \in C^2$ para poder intercambiar más adelante el sumatorio y la derivada, y así poder derivar término a término. Y ahí es donde me atasco: no se cómo demostrar que $\Phi \in C^2$.

En los libros que he consultado siempre cuentan con la función, pero yo aquí la función la desconozco, y no se cómo garantizar esa condición.

Si me podéis iluminar, os estaré muy agradecido.

Gracias

[Umbopa]

Re: Resolución de ecuación en derivadas parciales por transformada de Fourier

Puedes especificar mejor cual es tu problema? no he entendido muy bien la duda.

Porque para resolver es lo típico separación de variables ...

[elfio]

Re: Resolución de ecuación en derivadas parciales por transformada de Fourier

¡Sí, claro!

Según hemos visto en clase, para que se cumpla

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sum_{- \infty}^\infty {C}_{n} exp(n \pi x/L) = \sum_{- \infty}^\infty {C}_{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} exp(n \pi x/L)$

Se ha de cumplir que la derivada segunda de la extensión periódica $\Phi$ sea al menos contínua a trozos, con discontinuidades de primer orden (piecewise continous), y no se cómo demostrar que se cumple eso partiendo de lo que me da el enunciado...

Anoche dándole vueltas pensé que quizás los únicos puntos conflictivos podrían ser $x=0$ y $x=-L$, pero luego también pensé que eso no tenía sentido, porque el problema se resuelve sin saber exactamente cómo es la parte de la extensión periódica en el intervalo $-L<x<0$...

Más tarde se me ocurrió que podría asumir que la parte que 'añadimos' a la función para formar la extensión periódica cumple con el requisito que necesito, y que sólo tendría que demostrarlo en los puntos donde extiendo la función.

Pero sigo sin tenerlo claro...

Espero haberte aclarado mi duda.

Gracias y un saludo!

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Las ecuaciones no se ven muy bien (no se si se podrá aumentar el tamaño...) pero el caso es introducir la derivada en el sumatorio, o lo que es lo mismo, derivar término a término.

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¿Nadie me podría echar una manita?