1r ciclo Resolver EDO no lineal

[skinner]

Buenas amigos. Tras aplicar la 2da ley de Newton, he llegado a la siguiente ecuación:

$$A\dfrac{\mathrm{d v(t)} }{\mathrm{dt} }+Bv^2(t)=C$$

Donde A, B, C son constantes. Nótese el cuadrado en el término central.

Me piden resolver esta EDO, y encontrar $v(t)$.

¿Me podéis decir por dónde tirar? Es que no estudié las EDOs no lineales en la escuela.

Un saludo amigos

[hennin]

Re: Resolver EDO no lineal

Yo lo resolvería por el método de series de potencias.

A veces es difícil de sacar el término de $a_n$ para luego deducir la función. Otra forma que se me ocurre sería por medio de la Transformada de Laplace.

Saludos.

[skinner]

Re: Resolver EDO no lineal

Hola hennin,

- Descarto el método de series de potencia porque esa ecuación tiene solución exacta, y me piden dicha expresión (es para el examen de Mecánica de Fluidos).
- Para usar la Transformada de Laplace hace falta linealizar la ecuación, lo cual de nuevo descarto porque, aunque la ecuación sea no-lineal, tiene solución exacta.

El problema está en cómo encontrar dicha solución... A ver si alguien me puede ayudar.

Un saludo y gracias!

[juantv]

Re: Resolver EDO no lineal

supongo que A ,B y C son constantes.

$\dst A \frac{d v(t)}{d t} + B v(t) ^2 = C$

$\dst D = \frac{B}{A}$

$\dst E = \frac{C}{A}$

$\dst \frac{d v(t)}{d t} + D v(t) ^2 = E$

$\dst \int \frac{dv(t)}{E - D v(t)^2} = t$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst v(t) = \frac{\sqrt{E}e ^{2\sqrt{DE}t} - \sqrt{E}}{\sqrt{D} + \sqrt{D}e ^{2\sqrt{DE}t}}$

$\dst v(t) = \frac{\sqrt{E}(e ^{2\sqrt{DE}t} - 1)}{\sqrt{D}(1 + e ^{2\sqrt{DE}t})}$

si no erre en el álgebra, solo te queda reemplazar las constantes.

PD: siento el primer resultado, ahora ya esta corregido el exponencial.

[hennin]

Re: Resolver EDO no lineal

Descarto el método de series de potencia porque esa ecuación tiene solución exacta

Dicho método no es un método numérico. Lo difícil es sacar el término como ya dije para luego saber a qué función se refiere.

[polonio]

Re: Resolver EDO no lineal

¡Es de variables separadas! Se integra y punto... juantv iba por buen camino pero creo que se ha liado un poco integrando

[skinner]

Re: Resolver EDO no lineal

Vaya, muchísimas gracias a los tres, en especial a juantv por la molestia que se ha tomado. ¡No me fijé en que era de variables separadas!

Un saludo a los tres, qué alegría poder contar con vosotros

- - - Actualizado - - -

Por cierto señores, ahora me doy cuenta de que la variable C Sí depende del tiempo !! Osea tengo esa integral:

$$A\dfrac{\mathrm{d v(t)} }{\mathrm{dt} }+Bv^2(t)=C(t)$$

¿¿Cómo le meto mano a ese monstruo?? La variable C(t) es un polinomio de grado 1, bastante simple de integrar (lo digo por si eso ayuda...)

[juantv]

Re: Resolver EDO no lineal

como bibliografia podrías buscar acerca de la ecuación de riccati ( $\dst \frac{d y}{dx} + A(x) y + B(x) y^2 = C(x)$ ), según algunas notas las estudio cuando estudiaba la hidrodinamica. Sin embargo creo que se necesita conocer una solución particular(que imagino no te la dan). en cualquier caso si encuentras informacion al respecto espero que la compartas .

[polonio]

Re: Resolver EDO no lineal

- - - Actualizado - - -

Por cierto señores, ahora me doy cuenta de que la variable C Sí depende del tiempo !! Osea tengo esa integral:

$$A\dfrac{\mathrm{d v(t)} }{\mathrm{dt} }+Bv^2(t)=C(t)$$

¿¿Cómo le meto mano a ese monstruo?? La variable C(t) es un polinomio de grado 1, bastante simple de integrar (lo digo por si eso ayuda...)

Hombre, eso cambia bastante el asunto. ¿Podrías poner la ecuación de forma exacta?

[skinner]

Re: Resolver EDO no lineal

Vale Polonio, ahí la tienes:

$$(M+b(30-t))\frac{\mathrm{d v(t)} }{\mathrm{dt} }+\left(\dfrac{1}{2}\rho A C_d \right)v(t)^2=E$$

donde t es el tiempo, v(t) la velocidad, y el resto (M, rho, Cd, A, b, E) son constantes...

Osea mi ecuación (me volví a equivocar, perdonad, son los nervios preexamen) es de la forma:

$$A(t)\dfrac{\mathrm{d v(t)} }{\mathrm{dt} }+Bv^2(t)=C$$

A ver si me podéis echar un cablecillo...

Gracias !!

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Por cierto juantv, estuve buscando sobre las ecuaciones de Ricatti, pero (mira tu ecuación general de Ricatti) el término A(x) no aparece en mi ecuación diferencial... pues no tengo término v(t)

¿Cómo podría hacerlo?